点集拓扑重要概念与定理 — Arendelle Royal Library

迁移自 zju-math-courses-collection 的 topology/references/key-concepts.tex（点集拓扑）。中英对照的概念与定理汇总，标注高频考点与经典反例。$\star$ 为高频考点，[高频] 为考试中出现频率特别高的内容。

集合论与可数性

关键概念

ZFC 公理系统：外延、空集、配对、并、幂集、分离、替换、无穷、正则、选择公理（AC）。
罗素悖论：无限制概括 $\{x\mid P(x)\}$ 导致矛盾；ZFC 通过分离公理避免。
可数：有限或可数无限；$\N$、$\Z$、$\Q$、$\N\times\N$ 可数。
不可数：$\R$、$\{0,1\}^\N$、$\mathcal{P}(\N)$ 不可数。
基数：$\aleph_0=|\N|$，$\mathfrak{c}=|\R|=|\mathcal{P}(\N)|$。
连续统假设（CH）：不存在 $A$ 使 $\aleph_0<|A|<\mathfrak{c}$；独立于 ZFC（Gödel 1940, Cohen 1963）。
代数数：可数；超越数：不可数。

关键定理与证明技巧

Cantor 对角线论证：$\{0,1\}^\N$ 不可数。假设可数列表 $x_1,x_2,\ldots$，构造 $y$ 使 $y_i\neq x_{ii}$，则 $y$ 不在列表中。
Cantor 定理：对任意集合 $A$，$|A|<|\mathcal{P}(A)|$。证明：假设 $g:A\to\mathcal{P}(A)$ 满射，考虑 $B=\{a\in A:a\notin g(a)\}$，导出矛盾。
可数性策略：构造到 $\N$ 的单射；或写成可数个可数（有限）集的并。
不可数性策略：对角线化；或从已知不可数集注入。

拓扑空间与基

关键概念

拓扑 $\mathcal{T}\subseteq\mathcal{P}(X)$：包含 $\varnothing, X$；对任意并封闭；对有限交封闭。
开集：$U\in\mathcal{T}$；闭集：补集为开；既开又闭集：既开又闭。
“开/闭”永远相对于某个拓扑而言——绝非绝对概念！
离散拓扑：$\mathcal{T}=\mathcal{P}(X)$。平凡拓扑（密着拓扑）：$\mathcal{T}=\{\varnothing,X\}$。
余有限拓扑：$\mathcal{T}=\{\varnothing\}\cup\{X\setminus F:F\text{ 有限}\}$。
更细/更粗：$\mathcal{T}_1\subseteq\mathcal{T}_2$ 表示 $\mathcal{T}_2$ 更细（开集更多）。
基 $\mathcal{B}$：(1) 覆盖 $X$；(2) 若 $x\in B_1\cap B_2$ 则存在 $B_3\ni x$ 使 $B_3\subseteq B_1\cap B_2$。开集 = 基元素的任意并。
子基 $\mathcal{S}$：有限交构成基。
第一可数：每点有可数邻域基；序列足以刻画拓扑。
第二可数：全空间有可数基；$\R$ 有可数基 $\{(a,b):a,b\in\Q\}$，基数为 $\aleph_0$。

关键定理

第二可数 $\Rightarrow$ 第一可数。逆不真：不可数集上的离散拓扑第一可数但不第二可数。
可度量化 $\Rightarrow$ 第一可数（$\{B(x,1/n)\}$ 是可数局部基）。
拓扑的交仍是拓扑；拓扑的并不必是拓扑（可把它当子基生成包含它的最小拓扑）。
有限集上的拓扑 $\leftrightarrow$ 预序。
$\R_\ell$（下限拓扑，基 $\{[a,b)\}$）：第一可数、可分，但不第二可数；$\R_\ell\times\R_\ell$ 不正规。

度量空间

关键概念

度量 $d$：非负性、对称性、三角不等式、$d(x,y)=0\iff x=y$。
伪度量：$x\neq y$ 时也可能 $d(x,y)=0$。
开球/闭球：$B(x,\varepsilon)$，$\bar{B}(x,\varepsilon)$。
有界集：$\operatorname{diam}(A)<\infty$。
有界度量：$d^*(x,y)=\min\{d(x,y),1\}$ 诱导相同拓扑。
等价度量：诱导相同拓扑；充分条件：存在 $c_1,c_2>0$ 使 $c_1d_1\le d_2\le c_2d_1$。
可度量化：存在度量 $d$ 使 $\mathcal{T}=\mathcal{T}_d$。
$\R^n$ 上三种经典度量：Euclidean（$\ell^2$）、Taxicab（$\ell^1$）、Supremum（$\ell^\infty$）；有限维下等价。

关键定理

可度量化 $\Rightarrow$ $T_4$（正规）、$T_2$（Hausdorff）、第一可数（这些是必要条件——用来否定可度量性）。
Urysohn 可度量化定理：$T_3$ + 第二可数 $\Rightarrow$ 可度量化（嵌入 Hilbert 立方体 $[0,1]^\omega$）。
紧致 + 可度量化 $\Rightarrow$ 第二可数（紧致 $\Rightarrow$ 完全有界 $\Rightarrow$ 可分）。
对紧致空间：可度量化 $\iff$ 第二可数 $\iff$ 可分。
伪度量空间是 $T_0$ $\iff$ 它是度量空间。
常见空间可度量性速查：

空间	可度量化？	理由
$\R^n$，标准拓扑	是	$d_2(x,y)=\\|x-y\\|$
任意集合上的离散拓扑	是	离散度量
平凡拓扑（$	X	\ge2$）
无限集上的余有限拓扑	否	不 Hausdorff
$\R^\omega$，积拓扑	是	$d_\omega=\sup_i d^*(x_i,y_i)/(i+1)$
$\R^\omega$，箱拓扑	否	不第一可数

子空间、积与箱拓扑

关键概念

子空间拓扑：$\mathcal{T}_Y=\{Y\cap U:U\in\mathcal{T}\}$。在 $Y$ 中开 $\neq$ 在 $X$ 中开——永远指明所在空间！
遗传性质：$X$ 有此性质 $\Rightarrow$ 每个子空间都有。例：$T_0,T_1,T_2$、第二可数。紧致不遗传（只遗传给闭子空间）。
积拓扑：基为 $\prod U_i$，其中除有限多个 $i$ 外 $U_i=X_i$（只有有限个坐标受限制）。
箱拓扑：基为 $\prod U_i$，每个 $U_i$ 都开——每个坐标都可受限制。
投影映射 $\pi_i$：在两种拓扑下都连续且开。
泛性质（仅积拓扑）：$f:Y\to\prod X_i$ 连续 $\iff$ 每个坐标 $\pi_i\circ f$ 连续。
终零序列 $\R^\omega_{\mathrm{ez}}$：只有有限多个非零项的序列。
有界序列：$\{x:\exists C,\forall i,|x_i|\le C\}$。

关键比较与定理

对有限积：积拓扑 = 箱拓扑。对无限积：箱拓扑严格更细。
$\R^\omega$ 上积拓扑 vs 箱拓扑的对比（重点）：

性质	积拓扑 $\mathcal{T}_p$	箱拓扑 $\mathcal{T}_b$
可度量化	是（$d_\omega$）	否（不第一可数）
连通	是（道路连通）	否（有界/无界分离）
$\operatorname{int}(\R^\omega_{\mathrm{ez}})$	$\varnothing$	$\varnothing$
$\overline{\R^\omega_{\mathrm{ez}}}$	$\R^\omega$（稠密）	$\R^\omega_{\mathrm{ez}}$（闭）
泛性质	成立	不成立

连通空间的积连通（积拓扑）。
可分空间的可数积可分。
箱拓扑中，有界和无界序列构成非平凡分离，所以 $(\R^\omega,\mathcal{T}_b)$ 不连通。
箱拓扑不第一可数：对角线论证——假设 $\{U_n\}$ 是 $\mathbf{0}$ 的可数邻域基，每个 $U_n$ 含 $\prod_i(-\varepsilon_{n,i},\varepsilon_{n,i})$；构造 $V=\prod_i(-\varepsilon_{i,i}/2,\varepsilon_{i,i}/2)$；则没有 $U_n\subseteq V$。

闭包、内部、边界与极限点

关键概念

闭包 $\overline{A}$：包含 $A$ 的最小闭集；$x\in\overline{A}\iff$ $x$ 的每个邻域都交 $A$。
内部 $A^\circ$：$A$ 的最大开子集。
边界 $\partial A=\overline{A}\setminus A^\circ$；$x\in\partial A\iff$ 每个邻域同时交 $A$ 和 $X\setminus A$。
邻域：包含某个含 $x$ 的开集的集合。
极限点/聚点：$x$ 的每个邻域交 $A\setminus\{x\}$。
孤立点：$x\in A$ 且某个邻域不含 $A$ 的其他点。
导集 $A'$ 或 $LP(A)$：$A$ 的所有极限点之集。
稠密集：$\overline{A}=X$（等价地，交每个非空开集）。
疏集/无处稠密：$\operatorname{int}(\overline{A})=\varnothing$。注意：$\Q$ 在 $\R$ 中不无处稠密（$\overline{\Q}=\R$ 内部非空）。
正则开集：$A=(\overline{A})^\circ$。

关键定理

$\overline{A}=A\cup LP(A)$（闭包 = 集合 $\cup$ 极限点）。
$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$。
$A\subseteq B\Rightarrow\overline{A}\subseteq\overline{B}$；$\overline{\overline{A}}=\overline{A}$（幂等）。
$\operatorname{int}(A\cap B)=\operatorname{int}(A)\cap\operatorname{int}(B)$。
Kuratowski 闭包公理：若 $f:\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X)$ 满足 $f(\varnothing)=\varnothing$，$A\subseteq f(A)$，$f(f(A))=f(A)$，$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$，则 $f(A)=\overline{A}^{\mathcal{T}_f}$ 定义了一个拓扑。
$(\overline{A})^\circ$ 总是正则开集。
在第一可数空间中，$x\in\overline{A}\iff$ 存在 $A$ 中序列收敛到 $x$。

连续映射与同胚

关键概念

连续性——四个等价定义：
1. $f^{-1}(\text{开})$ 是开（全局连续）。
2. 逐点：$\forall V\ni f(x),\exists U\ni x: f(U)\subseteq V$。
3. $f^{-1}(\text{闭})$ 是闭。
4. 对所有 $A$，$f(\overline{A})\subseteq\overline{f(A)}$。
在度量空间中，(2) 化为 $\varepsilon$-$\delta$ 表述。
同胚：连续双射且逆连续。记作 $X\cong Y$。
拓扑不变量：同胚保持的性质（紧致、连通、Hausdorff、基数等）。
嵌入：$f:X\to Y$ 是其像上的同胚（像取子空间拓扑）。
粘接引理：$X=A\cup B$ 且 $A,B$ 都闭（或都开），$f$ 在每块上连续且在 $A\cap B$ 上一致 $\Rightarrow$ $f$ 在 $X$ 上连续。
开映射/闭映射：$f$ 把开/闭集映为开/闭集。

证明/否定同胚的六种技巧

显式构造：写出 $f$ 与 $f^{-1}$，验证都连续。如 $(0,1)\cong\R$ 用 $f(x)=\tan(\pi(x-1/2))$。
拓扑不变量：找 $X$ 有而 $Y$ 没有的性质。如 $[0,1]$ 紧致，$(0,1)$ 不紧致。
去点论证：若 $X\cong Y$，则 $X\setminus\{p\}\cong Y\setminus\{f(p)\}$。如 $\R\not\cong\R^2$（去一点后一个不连通一个连通）。
开/闭映射准则：$f$ 是同胚 $\iff$ $f$ 是连续双射且开（或闭）。
紧致到 Hausdorff 的捷径：从紧致空间到 Hausdorff 空间的连续双射自动是同胚——最常用的工具！证明：$F\subseteq X$ 闭 $\Rightarrow$ $F$ 紧致 $\Rightarrow$ $f(F)$ 紧致 $\Rightarrow$ $f(F)$ 闭，所以 $f$ 是闭映射。
否定同胚：找一个开集其像不开。如 $f:[0,1)\to S^1$，$f(t)=(\cos2\pi t,\sin2\pi t)$：$[0,1/2)$ 开但像在 $S^1$ 中不开。

关键定理

紧致 + Hausdorff + 连续双射 $\Rightarrow$ 同胚（考试最高频事实之一）。
连续映射的复合连续；连续映射的限制连续。
$f:Y\to\prod X_i$（积拓扑）连续 $\iff$ 每个 $\pi_i\circ f$ 连续（泛性质）。

连通性与道路连通性

关键概念

连通：不能分成两个非空不交开集；等价地，唯一的既开又闭子集是 $\varnothing$ 和 $X$。
不连通：存在分离。
完全不连通：只有单点集连通（如 $\Q$、Cantor 集）。
连通分支：极大连通子集；总是闭的。
道路连通：$\forall a,b\in X$，存在连续 $\gamma:[0,1]\to X$ 使 $\gamma(0)=a$，$\gamma(1)=b$。
道路连通分支：“可被道路连接”的等价类；包含于某个连通分支。
局部道路连通：每点有道路连通邻域基。
拓扑学家的正弦曲线：$\{(x,\sin(1/x)):x\in(0,1]\}\cup(\{0\}\times[-1,1])$——连通但不道路连通。典范反例。

关键定理

道路连通 $\Rightarrow$ 连通。逆不真（见拓扑学家的正弦曲线）。
连通 + 局部道路连通 $\Rightarrow$ 道路连通。证明：固定 $x$，令 $S_x=\{y:\exists\text{ 从 }x\text{ 到 }y\text{ 的道路}\}$，证明 $S_x$ 既开又闭且非空，由连通性得 $S_x=X$。
连通的连续像是连通的。
连通的闭包是连通的。
交非空的连通集之并连通。
连通空间的积连通（积拓扑）。
$\R$ 的连通子集恰为区间。证明：若 $A$ 不是区间，存在 $a<c<b$ 使 $a,b\in A$，$c\notin A$；则 $A\cap(-\infty,c)$ 与 $A\cap(c,\infty)$ 构成分离。
$\R^n$ 连通；$n\ge2$ 时 $\R^n\setminus\{0\}$ 连通（道路连通）。
多于一点的连通度量空间不可数。证明：取不同的 $a,b$，考虑 $d_a(x)=d(a,x)$；其连续像在 $\R$ 中连通，故含区间 $[0,d(a,b)]$，因而不可数。
每个连续 $f:[0,1]\to[0,1]$ 有不动点（一维 Brouwer）。证明：定义 $g(x)=f(x)-x$，用介值定理。
证明不连通的技巧：
1. 直接构造分离 $U,V$。
2. 找连续满射 $f:X\to\{0,1\}$（离散）；则 $f^{-1}(0),f^{-1}(1)$ 构成分离。
3. 找连续 $f:X\to Y$ 使 $f(X)$ 不连通（“连通的连续像连通”的逆否）。
$(0,1)$、$(0,1]$、$[0,1]$ 两两不同胚：它们的非割点数不同（分别为 0、1、2）。

紧致性

关键概念

紧致：每个开覆盖有有限子覆盖。
开覆盖/有限子覆盖：所有紧致性证明的核心定义。
列紧：每个序列有收敛子列（度量空间中与紧致等价）。
局部紧致：每点有紧致邻域。
一点紧化：给局部紧致 Hausdorff 空间添加 $\infty$ 使其紧致。
Heine—Borel 定理：$A\subseteq\R^n$ 紧致 $\iff$ 闭且有界。

关键定理——考试最高优先级

紧致空间的闭子集紧致。证明：给定 $F$ 的开覆盖，加 $X\setminus F$ 覆盖 $X$；用 $X$ 的紧致性。
紧致的连续像是紧致的。证明：把 $f(X)$ 的开覆盖拉回 $X$，取有限子覆盖，再推回去。
Hausdorff 空间的紧致子集闭。证明：固定 $y\notin K$，对每个 $x\in K$ 用 Hausdorff 得不交的 $U_x\ni x$，$V_x\ni y$；$\{U_x\}$ 覆盖 $K$，取有限子覆盖；$V=\bigcap V_{x_i}$ 是 $y$ 的不交于 $K$ 的开邻域。
从紧致到 Hausdorff 的连续双射是同胚（点集拓扑中最常用的单一工具）。
管引理：$Y$ 紧致，若开集 $N$ 含切片 $\{x_0\}\times Y$，则存在开集 $W\ni x_0$ 使 $W\times Y\subseteq N$。证明：对每个 $y$ 取 $U_y\times V_y\subseteq N$；$\{V_y\}$ 覆盖 $Y$，取有限子覆盖；令 $W=\bigcap U_{y_i}$。
Hausdorff 空间中不交紧致集可用不交开集分离。
紧致 + Hausdorff $\Rightarrow$ 正规（$T_4$）。
紧致 + Hausdorff $\Rightarrow$ 正则（$T_3$）。
紧致空间的有限积紧致（Tychonoff 有限情形）。
紧致空间的任意积紧致（Tychonoff 定理，需 AC）。
余有限拓扑中每个子集都紧致：从覆盖中任取非空 $U_0$；其余集有限，只需再取有限多个集。
有限离散空间的可数积紧致。
$\Z_p$（$p$-adic 整数）紧致（有限离散空间积的闭子集）。
$\R^\omega$（积拓扑）不局部紧致，故没有（Hausdorff）一点紧化。
$\{0\}\cup\{1/n:n\in\N^+\}\cong\N^+$ 的一点紧化。
$\Q$ 不局部紧致。
等价表述：有限交性质（FIP）——紧致空间中，任何具有 FIP 的闭集族总交非空。

分离公理

层级关系

\[ T_4\;(\text{正规})\ \Longrightarrow\ T_{3\frac12}\;(\text{Tychonoff})\ \Longrightarrow\ T_3\;(\text{正则})\ \Longrightarrow\ T_2\;(\text{Hausdorff})\ \Longrightarrow\ T_1\;(\text{Fréchet})\ \Longrightarrow\ T_0\;(\text{Kolmogorov})\]

本参考资料约定 $T_3$、$T_4$ 包含 $T_1$；上述反向蕴含一般都不成立。

详细分解

$T_0$（Kolmogorov）：不同的点拓扑可区分（某个开集恰好包含其中一个）。例：Sierpiński 空间 $\{0,1\}$ 取拓扑 $\{\varnothing,\{1\},\{0,1\}\}$ 是 $T_0$ 但不 $T_1$。
$T_1$（Fréchet）：单点集闭（等价地：两个不同点可单侧分离）。例：无限集上的余有限拓扑 $T_1$ 但不 $T_2$。性质：遗传，积保持。
$T_2$（Hausdorff）：不同点有不交开邻域。推论：(1) 极限唯一；(2) 紧致子集闭；(3) 对角线 $\Delta$ 在 $X\times X$ 中闭。性质：遗传，积保持。例：任何度量空间、$\R^n$。反例：无限集上的余有限拓扑。
$T_3$（正则）：$T_1$ + 点与不交闭集可用不交开集分离。等价：每点有闭邻域基。性质：遗传，积保持；紧致 + Hausdorff $\Rightarrow$ 正则。
$T_{3\frac12}$（Tychonoff / 完全正则）：$T_1$ + 点与不交闭集可用连续函数 $f:X\to[0,1]$ 分离。严格介于 $T_3$ 与 $T_4$ 之间；$T_4\Rightarrow T_{3\frac12}\Rightarrow T_3$。
$T_4$（正规）：$T_1$ + 不交闭集可用不交开集分离。关键：正规性不遗传（子空间可能失败）；积不保持（Sorgenfrey 平面 $\R_\ell\times\R_\ell$ 不正规）。充分条件：紧致 + Hausdorff $\Rightarrow$ 正规；可度量化 $\Rightarrow$ 正规。

核心定理

Urysohn 引理：$X$ 正规 $\iff$ 对任意不交闭集 $A,B$，存在连续 $f:X\to[0,1]$ 使 $f(A)=\{0\}$，$f(B)=\{1\}$。证明思路：构造由二进有理数 $r$ 指标的开集 $U_r$，满足 $r<s$ 时 $\overline{U_r}\subseteq U_s$；定义 $f(x)=\inf\{r:x\in U_r\}$。
Tietze 扩张定理：$X$ 正规 $\iff$ 闭子集上的每个连续实值函数可连续扩张到 $X$。
Jones 引理：若正规空间含稠密集 $D$ 和闭离散集 $S$ 且 $|S|\ge 2^{|D|}$，则该空间不正规。
在 $T_3$ 空间中，不同点可用闭包不交的开集分离。
在 $T_4$ 空间中，不交闭集可用闭包不交的开集分离。
局部紧致 + Hausdorff $\Rightarrow$ $T_3$（正则）。

可数性公理与可度量化

关键概念

可分：有可数稠密子集。第二可数 $\Rightarrow$ 可分；逆一般不真（可度量化时成立）。
Lindelöf：每个开覆盖有可数子覆盖。第二可数 $\Rightarrow$ Lindelöf。

关键定理

度量空间中三性质等价： \[ \text{第二可数}\ \iff\ \text{Lindelöf}\ \iff\ \text{可分}.\] 证明概要：
- (i)$\Rightarrow$(ii)：可数基 + 开覆盖 $\to$ 每个基元素选一个覆盖集。
- (ii)$\Rightarrow$(i)：对每个 $n$，$\{B(x,1/n)\}$ 是开覆盖；Lindelöf 给可数子覆盖；对 $n$ 求并得可数基。
- (i)$\Rightarrow$(iii)：每个非空基元素取一个点。
- (iii)$\Rightarrow$(i)：$\{B(a,1/n):a\in D,\ n\in\N\}$ 是可数基。
Urysohn 可度量化定理：$T_3$ + 第二可数 $\Rightarrow$ 可度量化。
对紧致空间：可度量化 $\iff$ 第二可数 $\iff$ 可分。
可分空间的可数积（积拓扑）可分。

Baire 纲定理

关键概念

无处稠密：$\operatorname{int}(\overline{A})=\varnothing$。警告：$\Q$ 在 $\R$ 中不无处稠密（关键是闭包：$\overline{\Q}=\R$ 内部非空）。
第一纲集（meager）：可数个无处稠密集的并。
第二纲集：不是第一纲集。
Baire 空间：可数个稠密开集的交稠密（等价地：可数个闭无处稠密集的并无内部）。

核心定理

Baire 纲定理——两个版本：
1. 每个完备度量空间是 Baire 空间。
2. 每个局部紧致 Hausdorff 空间是 Baire 空间。
紧致 Hausdorff 空间中的特例：若 $\{A_i\}$ 是内部为空的闭集，则 $\left(\bigcup A_i\right)^\circ=\varnothing$。证明：假设非空开集 $U\subseteq\bigcup A_i$；归纳构造嵌套紧致集避开每个 $A_i$；用 FIP 得矛盾。
Cantor 集：紧致、完全不连通、无孤立点、不可数。
Baire 的经典应用：
- $\R$ 不可数（否则 $\R$ 是可数个无处稠密单点集的并，与 Baire 矛盾）。
- $\Q$ 不是 $\R$ 中的 $G_\delta$ 集。
- $[0,1]$ 上”大多数”连续函数处处不可导。

经典反例

连通性 vs 道路连通性

拓扑学家的正弦曲线： \[ X = \underbrace{\{(x,\sin(1/x)) : x\in(0,1]\}}_{A}\ \cup\ \underbrace{\{0\}\times[-1,1]}_{B}\]
- $A$ 连通（$(0,1]$ 的连续像）。
- $X=\overline{A}$ 连通（连通的闭包）。
- 不道路连通：从 $B$ 中点到 $A$ 中点不存在连续道路，因为 $x\to0^+$ 时 $\sin(1/x)$ 无限振荡。
- 说明：连通 $\nRightarrow$ 道路连通。也说明：$A^\circ=\varnothing$，$\overline{A}=A\cup B$，$LP(A)=A\cup B$。

分离公理

Sierpiński 空间（$\{0,1\}$，$\mathcal{T}=\{\varnothing,\{1\},\{0,1\}\}$）：$T_0$ 但不 $T_1$（单点集 $\{0\}$ 不闭）。区分 $T_0$ 与 $T_1$ 的最简空间。
无限集上的余有限拓扑：$T_1$ 但不 $T_2$（Hausdorff）。
- 每个单点集闭（补集余有限），故 $T_1$。
- 任意两个非空开集相交（补集有限，补集的并有限，故不是全空间）。因此不能分离两点。
Sorgenfrey 线 $\R_\ell$（下限拓扑，基 $\{[a,b)\}$）：
- $T_3$（正则）、第一可数、可分。
- 不第二可数：任何基都必须含不可数多个集（对每个 $x$，含 $x$ 的基元素必须以 $x$ 为左端点）。
- 说明：可分 + 第一可数 $\nRightarrow$ 第二可数。
Sorgenfrey 平面 $\R_\ell\times\R_\ell$：不 $T_4$（正规）。
- 每个因子 $\R_\ell$ 是 $T_3$（正则），但积不正规。
- 说明：$T_4$（正规性）不被积保持；$T_3\times T_3$ 未必 $T_4$。

可数性公理与可度量化

不可数集上的离散拓扑：第一可数（每个 $\{x\}$ 是邻域基）但不第二可数（需要不可数多个单点集作基）。说明：第一可数 $\nRightarrow$ 第二可数。
不可数集上的余可数拓扑：$\mathcal{T}=\{\varnothing\}\cup\{X\setminus C:C\text{ 可数}\}$。不第一可数（没有点有可数邻域基）。故也不第二可数、不可度量化。
$\R^\omega$ 上的箱拓扑：不第一可数（在 $\mathbf{0}$ 处对角线论证），故不可度量化。也不连通（有界/无界分离）。
$\R^\omega$（积拓扑）：可度量化且道路连通，但不局部紧致。说明：可度量化 $\nRightarrow$ 局部紧致。
$\R_\ell$（Sorgenfrey 线）：$T_3$、可分、第一可数，但不可度量化（因不第二可数）。说明：$T_3$ + 可分 $\nRightarrow$ 可度量化；Urysohn 可度量化定理中的第二可数假设不可去掉。
$|X|\ge2$ 上的平凡（密着）拓扑：不 $T_0$，故不 $T_1$、不 $T_2$、不可度量化。
$\R^2$ 上的径向开集拓扑：$\mathcal{T}_{\mathrm{std}}\subsetneq\mathcal{T}_{\mathrm{ro}}$，严格细于标准拓扑；含过原点的”十字”这类在标准拓扑中不开的集。

紧致性

$(0,1)$、$\R$、$\R^n$：不紧致（标准拓扑）。$[0,1]$ 紧致（Heine—Borel）；$(0,1)$ 不紧致（覆盖 $(1/n,\,1-1/n)$ 无有限子覆盖）。
任意集合上的余有限拓扑：每个子集紧致。特别地，带余有限拓扑的无限集紧致但不 Hausdorff。说明：紧致 $\nRightarrow$ Hausdorff；“紧致 $\Rightarrow$ 闭”中 Hausdorff 假设是本质的。
$\R^\omega$（积拓扑）：不局部紧致（任何基本邻域都有自由坐标投射到不紧致的 $\R$）。故没有（Hausdorff）一点紧化。
$\Q$（子空间拓扑）：不局部紧致。$\Q$ 的任何紧致子集内部为空（否则含一个有理数区间，其在 $\R$ 中的闭包含无理数）。
离散拓扑的无限集：在离散度量下有界且闭（$\operatorname{diam}=1$），但不紧致（单点集覆盖无有限子覆盖）。说明：Heine—Borel 在 $\R^n$ 外失效；“有界且闭”依赖度量。

同胚与连续映射

$f:[0,1)\to S^1$，$f(t)=(\cos2\pi t,\sin2\pi t)$：连续双射但不是同胚。$S^1$ 紧致，$[0,1)$ 不紧致；或 $f([0,1/2))$ 在 $S^1$ 中不开。说明：连续双射 $\nRightarrow$ 同胚；紧致到 Hausdorff 的捷径恰好弥补这一差距。
$(0,1)\not\cong(0,1]\not\cong[0,1]$：非割点数不同（0、1、2）。说明：用去点论证否定同胚。
$\R\not\cong\R^2$：$\R\setminus\{p\}$ 不连通；$\R^2\setminus\{p\}$ 连通。说明：去点 + 连通性是拓扑不变量。
$(0,\infty)\not\cong(0,1]$：从 $(0,\infty)$ 去掉任意点都不连通；从 $(0,1]$ 去掉 $\{1\}$ 得连通的 $(0,1)$。

闭包、稠密性与积/箱拓扑

终零序列 $\R^\omega_{\mathrm{ez}}$：
- 积拓扑：$\operatorname{int}=\varnothing$，$\overline{\R^\omega_{\mathrm{ez}}}=\R^\omega$（稠密）。
- 箱拓扑：$\operatorname{int}=\varnothing$，$\overline{\R^\omega_{\mathrm{ez}}}=\R^\omega_{\mathrm{ez}}$（闭）。
说明：闭包依赖拓扑；同一集合在积与箱拓扑下闭包截然不同。
箱拓扑中的有界与无界序列：两个集合在 $\mathcal{T}_b$ 中都开，构成非平凡分离。说明：$(\R^\omega,\mathcal{T}_b)$ 不连通；箱拓扑”太细”。
$\Q$ 在 $\R$ 中的内部：$\Q^\circ=\varnothing$，但 $\overline{\Q}=\R$（稠密）。说明：集合可以稠密且内部为空；$\Q$ 不无处稠密（闭包内部非空）。
无处稠密 vs 第一纲：
- $\Z$ 在 $\R$ 中：闭、内部空 $\Rightarrow$ 无处稠密。
- $\{1/n:n\in\N^+\}$ 在 $\R$ 中：闭包加 $\{0\}$，内部仍空 $\Rightarrow$ 无处稠密。
- $\Q$ 在 $\R$ 中：不无处稠密（$\overline{\Q}=\R$），但是第一纲（$\Q=\bigcup_{q\in\Q}\{q\}$，可数个无处稠密单点集的并）。
说明：无处稠密 $\neq$ 第一纲；第一纲集可以稠密。
Cantor 集 $C$：紧致、完全不连通、无孤立点、不可数、无处稠密、Lebesgue 测度为零。说明：集合可以不可数却无处稠密且测度为零；紧致度量空间可以完全不连通且无孤立点。

可度量性必要条件速查

空间	不可度量化因为……	失败的条目
平凡拓扑（$	X	\ge2$）
无限集上的余有限拓扑	不 Hausdorff	$T_2$
$\R^\omega$，箱拓扑	不第一可数	第一可数
$\R_\ell$（Sorgenfrey 线）	不第二可数	（Urysohn 需第二可数）
不可数集上的余可数拓扑	不第一可数	第一可数
Sorgenfrey 平面	不正规	$T_4$

证明技巧总结

双向包含：证明 $A=B$。如 $\overline{A}=A\cup LP(A)$，拓扑相等 $\mathcal{T}_1=\mathcal{T}_2$。
逆否命题：$P\Rightarrow Q$ 证为 $\neg Q\Rightarrow\neg P$。如连续像保持连通性。
反证法：假设结论否，导出矛盾。如 Cantor 定理。
情形分析：穷举不相容情形。如 $d^*$ 的三角不等式。
序列构造：构造序列证明 $x\in\overline{A}$ 或 $x\in LP(A)$。如拓扑学家的正弦曲线的闭包。
自由坐标：积拓扑中不受限的坐标允许构造反例。如 $\R^\omega_{\mathrm{ez}}$ 内部为空。
箱邻域技巧：$\prod_i(x_i-\varepsilon_i,x_i+\varepsilon_i)$ 控制每个坐标。如有界序列在箱拓扑中开。
到离散空间的连续函数：证明不连通。如 $X=\{(x,0)\}\cup\{(x,1/x)\}$，定义 $f(x,y)=xy$；$f(X)=\{0,1\}$。
拓扑不变量论证：证明 $X\not\cong Y$。如 $[0,1)\not\cong S^1$（紧致性）。
既开又闭集论证：在连通空间中，定义 $S=\{x:\text{性质在 }x\text{ 处成立}\}$，证明 $S$ 既开又闭且非空，则 $S=X$。如连通 + 局部道路连通 $\Rightarrow$ 道路连通。
介值定理/不动点：定义 $g(x)=f(x)-x$，检查端点符号，用 IVT。如一维 Brouwer。
球比较法：证明每个 $d_1$-球含 $d_2$-球且反之，从而 $\mathcal{T}_{d_1}=\mathcal{T}_{d_2}$。如 $d^*$ 与 $d$ 诱导相同拓扑。
加法推出单调性：$A\subseteq B\Rightarrow f(A)\subseteq f(B)$ 由 $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$ 推出。如 Kuratowski 闭包公理。
特征函数：把子集编码为函数 $A\to\{0,1\}$；集合运算变为逐点算术。如 $\mathcal{P}(A)\cong 2^A$。
可数并论证：$S=\bigcup_{n=1}^\infty S_n$ 且每个 $S_n$ 可数（或有限）$\Rightarrow$ $S$ 可数。如代数数、终零序列。
良定义性：在等价类上定义函数时，验证与代表元选取无关。如由伪度量构造商度量。
公理验证清单：系统地验证每条公理——拓扑（3）、度量（3）、等价关系（3）、群（4）。
子基方法：包含某族的最小拓扑/等价关系 = 所有包含它的拓扑/关系的交。
最小反例：“是否总能……”类问题常由最小的非平凡例子解决。如 $\mathcal{T}_1\cup\mathcal{T}_2$ 不是拓扑（$|S|=3$）。
有限子覆盖 + 有限性：从紧致空间取出有限子覆盖后，用有限性（如有限多个正数的最小值仍为正）。
原像论证：$f^{-1}$ 与并、交、补可交换（无需连续性！）。

考试优先级

以下优先级顺序来自 report.tex（从高到低）：

紧致性 > 分离公理 > Urysohn 引理/可度量化 > 子空间与积拓扑 > 连通性与道路连通性 > 闭包/内部/连续性 > 集合论与可数性

期末考试基本是作业、期中、讲义与课堂例题的变形：通常约 5 道题，多为熟悉题型，可能有一道迁移题。目标标准是能独立写出每个证明，而不仅是认出解法。

空间	可度量化？	理由
\(\R^n\)，标准拓扑	是	\(d_2(x,y)=\\|x-y\\|\)
任意集合上的离散拓扑	是	离散度量
平凡拓扑（$	X	\ge2$）
无限集上的余有限拓扑	否	不 Hausdorff
\(\R^\omega\)，积拓扑	是	\(d_\omega=\sup_i d^*(x_i,y_i)/(i+1)\)
\(\R^\omega\)，箱拓扑	否	不第一可数

性质	积拓扑 \(\mathcal{T}_p\)	箱拓扑 \(\mathcal{T}_b\)
可度量化	是（\(d_\omega\)）	否（不第一可数）
连通	是（道路连通）	否（有界/无界分离）
\(\operatorname{int}(\R^\omega_{\mathrm{ez}})\)	\(\varnothing\)	\(\varnothing\)
\(\overline{\R^\omega_{\mathrm{ez}}}\)	\(\R^\omega\)（稠密）	\(\R^\omega_{\mathrm{ez}}\)（闭）
泛性质	成立	不成立