复变函数复习

迁移自 zju-math-courses-collection 的 complex_analysis/review/chapter-summary.tex（2026 春夏复变函数）。按讲义五章结构整理，每章分为主要内容、重要定理和结论、典型题目分析三部分。

第 1 章：复数与基本函数

主要内容

本章从数系扩张讲起：自然数、整数、有理数、实数，再到复数域 \(\C\)。真正需要掌握的是复数域的代数结构、复数列与级数、幂级数收敛半径，以及指数、三角、对数、幂函数等基本复函数。

重点主线如下：

• \(\C = \R \times \R\)，乘法定义为 \[(x+iy)(u+iv)=(xu-yv)+i(xv+yu).\]
• 共轭、模、实部虚部的关系： \[\bar z=x-iy,\quad |z|^2=z\bar z,\quad \Re z=\frac{z+\bar z}{2},\quad \Im z=\frac{z-\bar z}{2i}.\]
• 复数列收敛等价于实部、虚部分别收敛。
• 函数项级数的正常收敛推出绝对收敛和局部一致收敛。
• 幂级数有收敛半径，圆内正常收敛，圆外发散。
• 指数函数由幂级数定义，满足加法公式和 \(2\pi i\) 周期性。
• 复对数是多值的，单值分支必须在割平面上选取。
• 复数乘法对应平面相似变换：缩放 \(|a|\) 加旋转 \(\arg a\)。

重要定理和结论

• \(\C\) 不是有序域：因为有序域中平方非负，但 \(i^2=-1\)。
• 三角不等式与反三角不等式： \[|z+w|\le |z|+|w|,\qquad ||z|-|w||\le |z-w|.\]
• Weierstrass M-test：正常收敛推出绝对收敛和局部一致收敛。
• Abel 定理：幂级数存在唯一收敛半径。
• Cauchy-Hadamard 公式： \[R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}.\]
• 指数函数： \[e^{z+w}=e^z e^w,\qquad e^z\ne 0,\qquad e^{z+2\pi i}=e^z.\]
• Euler 公式： \[e^{iy}=\cos y+i\sin y.\]
• 主值对数： \[\Log z=\log|z|+i\Arg z\] 只能在选定割线后的区域中连续解析。
• 幂函数一般通过对数分支定义： \[z^\alpha=\exp(\alpha \Log z).\]

典型题目分析

题型 1：求幂级数收敛半径。

常见题面：求 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n\) 的收敛半径，其中 \(a_n\) 可能包含 \(n!\)、\(n^n\)、\(\log n\) 或组合式。

分析方法：

• 首先尝试比值法： \[R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\] 前提是极限存在。
• 比值法不好用时，用 Cauchy-Hadamard： \[\frac1R=\limsup |a_n|^{1/n}.\]
• 遇到阶乘，通常使用 Stirling 公式 \[n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n.\]

典型结论：

• \(a_n=(\log n)^2\) 时，\(|a_n|^{1/n}\to 1\)，所以 \(R=1\)。
• \(a_n=n!\) 时，\(|a_n|^{1/n}\to\infty\)，所以 \(R=0\)。
• \(a_n=1/n!\) 时，\(R=\infty\)。

题型 2：解复指数、复对数和复幂方程。

常见题面：求解 \(e^z=w\)、\(z^n=a\)、\(i^i\) 或判断 \(\Log\) 是否可定义。

分析方法：

• 若 \(w=re^{i\theta}\ne 0\)，则 \[e^z=w \Longleftrightarrow z=\log r+i(\theta+2k\pi),\quad k\in \Z.\]
• 若求主值，只取 \(\Arg\) 所在区间内的角。
• 若涉及 \(z^\alpha\)，必须先说明使用哪个对数分支。

易错点：

• \(\log z\) 不是全局单值函数。
• \(\Log(zw)=\Log z+\Log w\) 不总成立，因为主值辐角可能跳过割线。
• 在 \(\C^*\) 上不能定义全局连续单值对数。

题型 3：判断复数列或函数项级数收敛。

分析方法：

• 复数列 \(z_n\) 收敛等价于 \(\Re z_n\) 和 \(\Im z_n\) 分别收敛。
• 函数项级数先找一个与点无关的上界 \(M_n\)，再验证 \(\sum M_n\) 收敛。
• 若能证明正常收敛，就自动得到局部一致收敛，后续可用于逐项求导和逐项积分。

第 2 章：复微分

主要内容

本章的核心是复可微、解析函数、Cauchy-Riemann 方程、共形映射和调和函数。复可微的强度远高于实可微：差商极限必须与趋近方向无关，这正是 Cauchy-Riemann 方程出现的原因。

重点主线如下：

• 复导数定义： \[f'(a)=\lim_{z\to a}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}.\]
• 解析函数：在开集上处处复可微。
• 若 \(f=u+iv\) 实可微，则复可微等价于 Cauchy-Riemann 方程： \[u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.\]
• 解析且 \(f'(z_0)\ne 0\) 意味着局部共形。
• 解析函数的实部和虚部都是调和函数。
• 在单连通区域上，调和函数存在全局调和共轭。

重要定理和结论

• 复可微推出连续。
• 复导数满足四则运算、链式法则。
• 常用导数： \[(e^z)'=e^z,\quad (\sin z)'=\cos z,\quad (\cos z)'=-\sin z,\quad (\Log z)'=\frac1z.\]
• Cauchy-Riemann 定理：在实可微前提下，复可微等价于 \[u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.\]
• Jacobian 的复线性形式： \[J_f= \begin{pmatrix} u_x&u_y\\ v_x&v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a&-b\\ b&a \end{pmatrix}.\]
• 若 \(f\) 解析，则 \[\det J_f=|f'(z)|^2.\]
• 共形判别：\(f\) 在 \(z_0\) 解析且 \(f'(z_0)\ne 0\)，则在 \(z_0\) 局部保持角度和方向。
• 若 \(f=u+iv\) 解析，则 \[\Delta u=0,\qquad \Delta v=0.\]
• 区域上若解析函数的实部、虚部或模为常数，则函数为常数。

典型题目分析

题型 1：判断函数是否复可微或解析。

常见题面：判断 \(f(z)=\bar z\)、\(f(z)=|z|^2\)、\(f(z)=x^2-y^2+2ixy\) 是否解析，并求导数。

分析方法：

• 写成 \(f=u+iv\)。
• 检查 \(u_x=v_y\) 和 \(u_y=-v_x\)。
• 注意 Cauchy-Riemann 方程只在一点成立通常只能说明该点可能复可微，还需要实可微或偏导连续等条件。

典型结论：

• \(f(z)=\bar z\)：\(u=x,v=-y\)，有 \(u_x=1\)、\(v_y=-1\)，不满足 C-R，处处不可复可微。
• \(f(z)=|z|^2=x^2+y^2\)：只在 \(0\) 处复可微，但不在任何邻域解析。
• \(f(z)=z^2=x^2-y^2+2ixy\)：满足 C-R，且 \(f'(z)=2z\)。

题型 2：求调和共轭。

常见题面：给定调和函数 \(u(x,y)\)，求 \(v\) 使 \(u+iv\) 解析。

分析方法：

• 使用 Cauchy-Riemann 方程： \[v_y=u_x,\qquad v_x=-u_y.\]
• 先对一个变量积分，再用另一条方程确定积分中的”常数函数”。
• 最后写出 \(f=u+iv\)，调和共轭只差一个实常数。

易错点：

• 必须先确认定义域的拓扑条件。局部总可以找，共轭要全局存在通常需要单连通。
• 在 \(\C^*\) 上，\(u=\log|z|\) 的局部共轭是 \(\arg z\)，但不存在全局单值连续的 \(\arg z\)。

题型 3：共形映射与临界点。

常见题面：判断 \(f(z)=z^n\)、\(e^z\)、Mobius 型函数在某点是否共形，描述局部映射效果。

分析方法：

• 先求 \(f'(z_0)\)。
• 若 \(f'(z_0)\ne 0\)，局部就是旋转加缩放： \[f(z)\approx f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0).\]
• 若 \(f'(z_0)=0\)，该点是临界点，保角性失效，后续第 4 章会用零点重数描述局部覆盖行为。

第 3 章：路径积分

主要内容

本章从路径积分出发，建立 Cauchy 积分定理、Cauchy 积分公式及其推论。核心思想是：解析性可以通过积分刻画，而边界积分可以控制区域内部的函数值和导数。

重点主线如下：

• 复路径积分： \[\int_\gamma f(z)\,dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt.\]
• 有原函数、闭路积分为零、路径无关三者等价。
• 单连通域、星形域和多连通域上的 Cauchy 定理。
• Cauchy 积分公式和广义 Cauchy 积分公式。
• Cauchy 不等式、Morera 定理、Liouville 定理。
• 解析函数列局部一致收敛时，极限仍解析，导数也局部一致收敛。

重要定理和结论

• ML 估计： \[\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right|\le M L(\gamma).\]
• 原函数判别：连续函数 \(f\) 在区域 \(D\) 上有原函数，当且仅当任意闭曲线积分为 \(0\)，也等价于路径积分只依赖端点。
• 基本反例： \[\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z}=2\pi i.\]
• Cauchy 积分定理：在合适拓扑条件下，解析函数沿闭曲线积分为 \(0\)。
• Cauchy 积分公式： \[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial U_r(a)} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta.\]
• 广义 Cauchy 积分公式： \[f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\partial U_r(a)} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\,d\zeta.\]
• Cauchy 不等式： \[|f^{(n)}(a)|\le \frac{n!M}{r^n}.\]
• Morera 定理：连续函数若所有三角形或可缩闭路积分为 \(0\)，则解析。
• Liouville 定理：有界整函数必为常数。
• 代数基本定理可由 Liouville 定理推出。

典型题目分析

题型 1：直接计算路径积分。

常见题面：给定参数曲线 \(\gamma(t)\)，计算 \(\int_\gamma f(z)\,dz\)。

分析方法：

• 若存在原函数 \(F\)，优先用 \[\int_\gamma f(z)\,dz=F(\gamma(b))-F(\gamma(a)).\]
• 若没有明显原函数，按定义代入参数： \[\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt.\]
• 若是闭路且函数在内部解析，用 Cauchy 定理直接判零。

易错点：

• \(1/z\) 在不穿过 \(0\) 的局部区域有原函数，但在 \(\C^*\) 上没有全局原函数。
• 多连通域中，洞内奇点会贡献非零积分。

题型 2：用 Cauchy 积分公式计算围道积分。

常见题面：

\[\oint_{|z-a|=r}\frac{f(z)}{(z-b)^{n+1}}\,dz.\]

分析方法：

• 先判断 \(b\) 是否在曲线内部。
• 若 \(b\) 在内部且 \(f\) 在闭圆盘邻域解析，则 \[\oint \frac{f(z)}{(z-b)^{n+1}}\,dz =\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(b).\]
• 若 \(b\) 在外部，且被积函数在内部解析，则积分为 \(0\)。

题型 3：用 Cauchy 不等式和 Liouville 定理证明函数形式。

常见题面：证明有界整函数为常数，或证明满足增长条件的整函数是多项式。

分析方法：

• 对任意 \(a\) 和任意大半径 \(r\) 用 Cauchy 不等式。
• 若 \(|f(z)|\le C(1+|z|^m)\)，则对 \(n>m\) 有 \[|f^{(n)}(a)|\le \frac{n!M_r}{r^n}\to 0.\]
• 所以高阶导数恒为零，\(f\) 是次数不超过 \(m\) 的多项式。

题型 4：用 Morera 或局部一致收敛证明解析性。

分析方法：

• 对极限函数，若 \(f_n\) 解析且 \(f_n\to f\) 局部一致，则 \(f\) 解析。
• 对积分定义函数，若能交换极限和路径积分，则可证明三角形积分为 \(0\)，再用 Morera。
• 题目要求”证明解析”时，不一定要直接算差商，积分刻画常更稳。

第 4 章：解析函数刻画

主要内容

本章是整门课内容最密集的一章。它把”解析函数”从多个角度刻画：幂级数、零点、局部映射、最大模、Schwarz 引理、解析延拓、孤立奇点、Laurent 级数、留数、亚纯函数和 Mobius 变换。

重点主线如下：

• 解析函数局部等于 Taylor 级数。
• 在开集上，复可微、Cauchy-Riemann、Cauchy 定理、Morera、Cauchy 公式、幂级数展开等性质互相等价。
• 非零解析函数的零点是离散的。
• 解析函数由任意有内聚点的集合上的值唯一决定。
• 非常数解析函数是开映射，模不能在内部取最大值。
• Schwarz 引理和 Schwarz-Pick 不等式控制单位圆盘自映射。
• 解析延拓由恒等定理保证唯一。
• 孤立奇点分为可去奇点、极点、本性奇点。
• Laurent 级数的负幂部分决定奇点类型。
• 留数定理把围道积分化为奇点局部系数。
• 扩充复平面 \(\widehat{\C}\) 上的亚纯函数就是有理函数。
• Mobius 变换是 Riemann 球面的基本自同构。

重要定理和结论

• Taylor 展开： \[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n.\]
• 解析函数等价刻画：复可微、C-R、局部原函数、Cauchy 积分公式、局部幂级数展开等。
• 初等域：任意解析函数都有全局原函数。若 \(f\) 在初等域上无零点，则存在解析对数 \(h\) 使 \(f=e^h\)。
• 零点分解： \[f(z)=(z-a)^m\varphi(z),\qquad \varphi(a)\ne 0.\]
• 恒等定理：两个解析函数若在有内聚点的集合上一致，则在整个连通区域上一致。
• 开映射定理：非常数解析函数把开集映为开集。
• 最大模原理：非常数解析函数的模不能在区域内部取最大值。
• 最小模原理：若非零且非常数，则模不能在内部取最小值。
• Schwarz 引理：若 \(f:E\to E\) 解析且 \(f(0)=0\)，则 \[|f(z)|\le |z|,\qquad |f'(0)|\le 1.\]
• 单位圆盘自同构： \[\Aut(E)= \left\{e^{i\theta}\frac{z-a}{1-\bar a z}:a\in E,\theta\in \R\right\}\] 具体符号可能因讲义中 Blaschke 因子取法而有等价变形。
• Schwarz-Pick 不等式： \[\frac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}\le \frac{1}{1-|z|^2}.\]
• Schwarz 反射原理：关于实轴对称的区域中，边界取实值的解析函数可通过共轭反射延拓。
• Riemann 可去奇点定理：孤立奇点附近有界当且仅当可去。
• 极点判别：\(c\) 是 \(m\) 阶极点当且仅当 \[f(z)=\frac{h(z)}{(z-c)^m},\qquad h(c)\ne 0.\]
• Casorati-Weierstrass 定理：本性奇点任意穿孔邻域的像在 \(\C\) 中稠密。
• Laurent 展开： \[f(z)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}a_j(z-c)^j.\]
• 奇点分类：
  • 可去：无负幂项。
  • \(m\) 阶极点：最低负幂为 \((z-c)^{-m}\)。
  • 本性：有无限多个非零负幂项。
• 留数定义： \[\Res(f;c)=a_{-1}.\]
• 留数定理： \[\oint_\Gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum_c \Res(f;c)\] 其中求和只取曲线内部奇点。
• 单极点留数： \[\Res(f;c)=\lim_{z\to c}(z-c)f(z).\]
• \(m\) 阶极点留数： \[\Res(f;c)= \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to c} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\left[(z-c)^m f(z)\right].\]
• 无穷远点分类：研究 \(f(1/z)\) 在 \(0\) 的奇点。
• \(\widehat{\C}\) 上的亚纯函数当且仅当是有理函数。
• \(\Aut(\C)\) 为仿射映射： \[z\mapsto az+b,\qquad a\ne 0.\]
• \(\Aut(\widehat{\C})\) 为 Mobius 变换： \[z\mapsto \frac{az+b}{cz+d},\qquad ad-bc\ne 0.\]

典型题目分析

题型 1：求 Taylor 展开和收敛半径。

常见题面：在某点展开 \(1/(1+z^2)\)、\(\Log(1+z)\)、\(1/(z-a)\) 等。

分析方法：

• 优先化成几何级数： \[\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^\infty w^n,\qquad |w|<1.\]
• 收敛半径由展开中心到最近奇点的距离决定。
• 不要只看实轴。例如 \(1/(1+x^2)\) 在实轴无奇点，但作为复函数的奇点是 \(z=\pm i\)。

题型 2：零点、恒等定理和唯一性。

常见题面：若解析函数在一列有内聚点的点上为零或相等，证明函数恒等为零或两函数相等。

分析方法：

• 先确认内聚点在定义域内部。
• 对差函数 \(h=f-g\) 使用恒等定理。
• 若只是边界上有内聚点，不能直接用恒等定理，除非能先做解析延拓或反射。

典型反例：

• \(\sin(\pi/z)\) 的零点 \(1/n\) 聚到 \(0\)，但如果 \(0\) 不在定义域内，不能推出函数恒为零。

题型 3：最大模、Schwarz 引理和圆盘自同构估计。

常见题面：已知 \(f:E\to E\)、\(f(0)=0\)，证明导数或函数值估计；或已知 \(f(a)=b\)，求最优上界。

分析方法：

• 若固定点在 \(0\)，直接用 Schwarz 引理。
• 若固定点不在 \(0\)，先用圆盘自同构把 \(a\) 和 \(b\) 移到 \(0\)： \[\phi_a(z)=\frac{z-a}{1-\bar a z}.\]
• 对 \(g=\phi_b\circ f\circ \phi_a^{-1}\) 使用 Schwarz 引理或 Schwarz-Pick。

题型 4：孤立奇点分类。

常见题面：判断 \(\sin z/z\)、\(1/(z-a)^m\)、\(e^{1/z}\)、\(\sin(1/z)\) 在某点的奇点类型。

分析方法：

• 能补值且有界：可去。
• 趋于无穷或有限阶负幂：极点。
• Laurent 展开有无限多个负幂：本性。

典型结论：

• \(\sin z/z\) 在 \(0\) 可去。
• \(1/z^m\) 在 \(0\) 是 \(m\) 阶极点。
• \(e^{1/z}\) 在 \(0\) 是本性奇点。
• \(\sin(1/z)\) 在 \(0\) 是本性奇点，且附近零点有内聚到 \(0\)。

题型 5：求 Laurent 展开。

常见题面：在不同环域中展开

\[\frac{1}{z(z-1)},\qquad \frac{1}{(z-a)(z-b)}.\]

分析方法：

• 先做部分分式分解。
• 每一项都化成几何级数。
• 环域不同，展开形式不同。例如 \[\frac{1}{z-1}=-\frac1{1-z}=-\sum_{n=0}^\infty z^n,\quad |z|<1,\] 但 \[\frac{1}{z-1}=\frac1z\frac1{1-1/z} =\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n-1},\quad |z|>1.\]

题型 6：用留数定理计算围道积分和实积分。

常见题面：

• 计算 \(\oint f(z)\,dz\)。
• 计算三角有理积分 \(\int_0^{2\pi} R(\cos\theta,\sin\theta)\,d\theta\)。
• 计算实轴有理积分 \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx\)。
• 计算含振荡因子的积分 \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{imx}\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx\)。

分析方法：

• 围道积分：列出曲线内部奇点，逐个算留数。
• 三角积分：令 \(z=e^{i\theta}\)， \[\cos\theta=\frac12\left(z+\frac1z\right),\quad \sin\theta=\frac1{2i}\left(z-\frac1z\right),\quad d\theta=\frac{dz}{iz}.\] 然后转为单位圆上的留数问题。
• 实轴有理积分：取上半圆或下半圆，要求大圆弧积分趋于 \(0\)。
• 含 \(e^{imz}\) 的积分：根据 \(m\) 的符号选择上半平面或下半平面，并使用 Jordan 引理。

题型 7：无穷远点、亚纯函数和 Mobius 变换。

常见题面：判断整函数在无穷远点的奇点类型，证明 \(\widehat{\C}\) 上亚纯函数是有理函数，求 Mobius 变换或其固定点。

分析方法：

• 无穷远点一律换元： \[\hat f(z)=f(1/z).\]
• 若整函数在无穷远点可去，则原函数有界，故为常数。
• 若整函数在无穷远点为极点，则原函数是多项式。
• Mobius 变换由三个点的像唯一决定，求解时可用交比或直接代入线性方程。

第 5 章：辐角原理与拓扑次数

主要内容

本章把围道积分、零点计数和拓扑次数联系起来。核心观点是：曲线绕点的次数可以用积分表示，而解析函数的零点和极点可以通过边界像曲线的环绕数读出来。

重点主线如下：

• 环绕数： \[w(\Gamma,a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{dz}{z-a}.\]
• 环绕数是整数，在 \(\C\setminus\Gamma\) 的每个连通分支上常值。
• Hopf degree theorem 描述闭曲线同伦类与环绕数的关系。
• 辐角原理：边界像曲线绕 \(0\) 的次数等于内部零点数减极点数。
• Rouche 定理用于比较两个函数的零点数。
• Hurwitz 定理用于研究解析函数列极限的零点。
• 拓扑次数是辐角原理在更一般连续映射中的推广。

重要定理和结论

• 环绕数整数性： \[w(\Gamma,a)\in \Z.\]
• 环绕数的同伦不变性：曲线同伦过程中不穿过 \(a\)，则环绕数不变。
• 对正向 Jordan 曲线，内部点环绕数为 \(1\)，外部点为 \(0\)。
• 解析函数辐角原理： \[w(f\circ \Gamma,0)=N(f;\Gamma)\] 在无边界零点且无极点时，右边是内部零点个数，计重数。
• 亚纯函数辐角原理： \[\frac{1}{2\pi i}\oint_\Gamma \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz =N(f;\Gamma)-P(f;\Gamma).\]
• Darboux-Picard 定理：在合适条件下，边界上的单射性推出内部单射性。
• Rouche 定理：若在边界 \(|g|<|f|\)，则 \(f\) 与 \(f+g\) 在内部零点数相同。
• Hurwitz 定理：非零解析函数列局部一致收敛时，零点在极限中稳定；若极限非零，零点不会凭空消失，只能按定理控制迁移。
• 拓扑次数满足规范性、可加性、同伦不变性和乘积公式。

典型题目分析

题型 1：计算环绕数。

常见题面：给定闭曲线 \(\Gamma\) 和点 \(a\)，求 \(w(\Gamma,a)\)。

分析方法：

• 若曲线是简单正向 Jordan 曲线，直接判断 \(a\) 在内部还是外部。
• 若曲线复杂，尝试同伦变形，只要变形中不穿过 \(a\)，环绕数不变。
• 也可以计算 \[\frac{1}{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{dz}{z-a}.\]

易错点：

• 曲线方向会改变符号。
• 点在曲线上时环绕数无定义。
• 非简单曲线的环绕数可以是任意整数，不一定只有 \(0\) 或 \(1\)。

题型 2：用辐角原理数零点。

常见题面：求解析函数或多项式在某区域内零点个数。

分析方法：

• 检查边界上 \(f(z)\ne 0\)。
• 计算 \[\frac{1}{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz.\]
• 若直接积分困难，观察边界像曲线 \(f(\Gamma)\) 绕 \(0\) 的次数。

典型用法：

• 对多项式，边界足够大时主项控制环绕数，所以可推出代数基本定理。
• 对解析函数，零点必须计重数。

题型 3：用 Rouche 定理比较零点数。

常见题面：判断多项式在单位圆或某圆盘内有几个根。

分析方法：

• 把函数拆成主项 \(f\) 和扰动 \(g\)。
• 在边界上证明 \(|g|<|f|\)。
• 得出 \(f\) 和 \(f+g\) 内部零点数相同。

例子模式：

• 在 \(|z|=1\) 上，若多项式某一项严格大于其余项模长之和，则它决定单位圆内零点数。
• 在大圆上，高次项通常支配；在小圆上，低次项通常支配。

题型 4：用 Hurwitz 定理处理极限函数。

常见题面：\(f_n\) 解析且局部一致收敛到 \(f\)，已知 \(f_n\) 无零点或单射，判断 \(f\) 的性质。

分析方法：

• 若每个 \(f_n\) 无零点，则极限 \(f\) 要么无零点，要么恒为零。
• 若每个 \(f_n\) 单射，通常可推出极限 \(f\) 要么单射，要么常数。
• 关键是局部一致收敛，不是逐点收敛。

题型 5：Darboux-Picard 与边界单射。

常见题面：给定有界域上解析函数，已知其在边界上单射，证明内部也单射。

分析方法：

• 利用边界像曲线的环绕数或拓扑次数。
• 对任意目标值 \(p\)，通过边界像曲线绕 \(p\) 的次数判断原像个数。
• 若边界单射保证边界像为 Jordan 曲线，则内部映射的重数受控。

题型 6：拓扑次数视角。

常见题面：连续映射下求方程 \(h(x)=p\) 的解个数或证明解存在。

分析方法：

• 若 \(p\) 不在边界像上，拓扑次数 \(\deg(h,\Omega,p)\) 定义良好。
• 同伦不穿过 \(p\) 时，次数不变。
• 若次数非零，则方程在区域内有解。
• 在复分析中，解析函数的局部次数等于零点重数。

复习优先级建议

第一优先级：

• Cauchy-Riemann 方程和解析判别。
• Cauchy 积分定理、Cauchy 积分公式、广义公式。
• Taylor/Laurent 展开和奇点分类。
• 留数定理及三类积分计算。
• 最大模原理、恒等定理、Schwarz 引理。
• 辐角原理和 Rouche 定理。

第二优先级：

• 解析延拓和 Schwarz 反射。
• 亚纯函数、无穷远点、Mobius 变换。
• Hurwitz 定理、Darboux-Picard 定理。
• 正常收敛、Weierstrass 定理和函数列解析性。

第三优先级：

• 数系构造背景。
• Hopf degree theorem 和一般拓扑次数的抽象形式。
• Riemann 球面的球面几何解释。

最常见的考试题链条是：

1. 先判断函数在哪些区域解析。
2. 找奇点和边界位置。
3. 选择 Cauchy 公式、Laurent 展开、留数定理、最大模原理或 Rouche 定理。
4. 最后用恒等定理、Liouville 定理或辐角原理给出全局结论。