浙江大学2023学年高等代数与解析几何 II 期末考试回忆卷

注：试题来自 cc98

一、（ 15 分）

化简曲面方程

\[x y+y z+x z=a^{2}\quad(a>0)\]

为标准方程，并指出它是什么曲面．

二、（ 12 分）

将 \(f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}\) 表示成初等对称多项式的多项式．

三、（ 15 分）

设 \(V\) 是数域 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间，\(W\) 是 \(V\) 的子空间，

\[\begin{aligned} \pi: V & \rightarrow V / W \\ v & \mapsto \bar{v} \end{aligned}\]

是商映射（自然映射），\(n \geq 1\) ．

（1）设 \(v_{1}, \cdots, v_{n} \in V, \bar{v}_{1}, \cdots, \bar{v}_{n}\) 在 \(V / W\) 中线性无关．证明 \(v_{1}, \cdots, v_{n}\) 线性无关．

（2）设 \(v_{1}, \cdots, v_{n} \in V \backslash W=\{v \in V \mid v \notin W\}\) ．且 \(v_{1}, \cdots, v_{n}\) 线性无关，问 \(\bar{v}_{1}, \cdots, \bar{v}_{\pi}\) 是否线性无关？说明理由．

四、（ 13 分）

设 \(V\) 是数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(V\) 上的线性变换 \(\sigma\) 有互不相同的特征值 \(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{k}\) 及相应的特征向量 \(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{k}\) 。若有 \(\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{k} \in W\) 且 \(W\) 为 \(\sigma\) 的不变子空间。证明： \(\operatorname{dim} W \geq k\) 。

五、（ 15 分）

求平面上的仿射变换 \(f\) 的坐标表达式，使得 \(f\) 把圆 \(x^{2}+y^{2}=1\) 变成圆 \((x-1)^{2}+(y+1)^{2}=4\) ，且 \(f\) 把 \(x\) 轴变成 \(y+1=0\) 。

六、（ 15 分）

设 \(n>1, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\) 是数域 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间 \(V\) 的一组基，\(\lambda \in \mathbb{F} . f: V \rightarrow V\) 是 \(V\) 上的线性变换，且 \(f\left(\alpha_{i}\right)=\lambda \alpha_{i}+\alpha_{i-1}, i=2,3, \cdots, n ; f\left(\alpha_{1}\right)=\lambda \alpha_{1}\) 。

（1）写出 \(f\) 在基 \(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\) 下的矩阵．

（2）若 \(W\) 是 \(V\) 的一个 \(f\)-不变子空间，\(W \neq\{\theta\}, W \neq V\) ，问是否存在 \(V\) 的一个 \(f\)－不变子空间 \(U\) ，使得 \(V=W \oplus U\) ？说明理由．

七、（ 15 分）

设 \(A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 8 & 2 \\ -2 & -14 & -3 \end{array} \right)\) ．

（1）求 \(A\) 在复数域上的Jordan 标准形. （2）求 \(A^{20}\) ．