一阶微分方程 — Arendelle Royal Library

齐次方程

若 \(f(x,y)\) 为零次齐次函数，即满足 \(f(tx,ty)=f(x,y)\) ，则称微分方程

\[y' = f(x,y)\]

为齐次方程。此时可以考虑做变量代换：\(u = \frac{y}{x}\) ，化为可分离变量的方程。注意区分线性齐次方程与齐次方程，注意这里必须是零次的齐次函数。

恰当方程

考虑平面 \(\mathbb{R}^2\) 上的区域 \(G\) ，若在 \(G\) 上存在一个具有一阶连续偏导的二元函数 \(F(x,y)\) 使得：

\[\mathrm{d}F(x,y) = M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)+\mathrm{d}y\]

则称一阶微分方程：

\[M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0\]

被称作区域 \(G\) 内的全微分方程，即恰当方程。此时显然有隐函数形式的原方程的解 \(F(x,y)=0\) 。从而若一个方程是恰当的，那么可以容易的利用初等积分法求得 \(F(x,y)\) 进而求得原方程隐函数形式的解。

注意到若函数 \(M,N\) 均有一阶连续偏导数，那么函数 \(F\) 一定有二阶连续偏导，从而有：

\[\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial^2F}{\partial x\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\]

从而可以给出一个一阶微分方程为恰当方程的充要条件。

积分因子法

对于一些非恰当的方程，一个自然的想法就是考虑将它转化为一个恰当方程，这个时候有一个容易想到的想法就是在方程两端同时乘上一个函数 \(\mu(x,y)\) ，使得 \(\mu M\) 和 \(\mu N\) 满足恰当方程的条件，这与常数变易法的思路是一致的。这样的函数被称作积分因子。

从而容易得到一个函数是积分因子的充要条件：

\[\frac{1}{\mu} \left( N \frac{ \partial \mu }{ \partial x } - M \frac{ \partial \mu }{ \partial y } \right) = \frac{ \partial M }{ \partial y } -\frac{ \partial N }{ \partial x } \]

这是一个关于 \(\mu\) 的偏微分方程，但是在某些情况下它确实会原本的常微分方程更容易求解，譬如当 \(\mu\) 只与 \(x\) 或 \(y\) 有关的时候。以下举几个例子。

只与 \(x\) 有关的积分因子

此时条件可以化为

\[\frac{1}{\mu} \frac{ \mathrm{d} \mu }{ \mathrm{d} x } = \frac{\frac{ \partial M }{ \partial y } - \frac{ \partial N }{ \partial x } }{N}\]

左侧只与 \(x\) 有关，从而右侧也应该只与 \(x\) 有关，从而可以得到积分因子只与 \(x\) 有关的充要条件是等式右侧只与 \(x\) 有关。从而得到：

\[\ln(\mu(x)) = \int_{x_{0}}^x \frac{\frac{ \partial M }{ \partial y } - \frac{ \partial N }{ \partial x } }{N} \mathrm{d}x\]

与 \(x+y\) 有关的积分因子

此时有 \(\frac{ \partial \mu }{ \partial x } = \frac{ \mathrm{d} \mu }{ \mathrm{d} t }\frac{ \partial t }{ \partial x } = \frac{ \mathrm{d} \mu }{ \mathrm{d} t } = \mu’(x+y)\) 。从而可以得到：

\[\frac{\mu’(x+y)}{\mu(x+y)} (N-M) = \frac{ \partial M }{ \partial y } -\frac{ \partial N }{ \partial x } \]

移项同理可得。

与 \(xy\) 有关的积分因子

此时有：

\[\frac{1}{\mu(xy)} \left( Ny\mu’(xy) - M x \mu’(xy) \right) = \frac{\mu’(xy)}{\mu (xy)} (yN-xM) = \frac{ \partial M }{ \partial y } - \frac{ \partial N }{ \partial x } \]

同理可得积分因子 \(\mu\)

分组求积分因子

TODO

特殊的可以求解的一阶非线性 ODE

Bernoulli 方程

\[y' + g(x)y + h(x)y^\alpha = 0,\quad \alpha \neq 0, 1\]

此时左右两边可以同乘因子 \((1-\alpha)y^{-\alpha}\) 得到：

\[(y^{1-\alpha})' + (1-\alpha)g(x)y^{1-\alpha} + (1-\alpha)h(x) = 0\]

经过换元 \(z=y^{1-\alpha}\) 可以化为一阶线性 ODE。注意，显然原方程有特解 \(y=0\) ，

Riccati 方程

\[y'+g(x)y+h(x)y^2=k(x)\]

对于这样的方程很难给出一般的求解，但是若已经有了一个特解 \(\phi(x)\) ，则可以做变量代换 \(u(x)=y(x)-\phi(x)\) 得到一个 Bernoulli 方程。

参数法

考虑一阶非线性微分方程 \(F\left( x,y,\frac{dy}{dx} \right)\) ，考虑参数化 \(p=\frac{dy}{dx}\) ，可以得到方程：

\[\begin{cases} F(x,y,p) = 0 \\ \mathrm{d}y = p\mathrm{d}x \\ \end{cases}\]

从而化简方程。这个参数化不是唯一的方案，可以任意进行。

待定系数法

一、待定系数法总结（Method of Undetermined Coefficients）

待定系数法适用于常系数线性微分方程，非齐次项必须是以下函数类型及其组合：

多项式
指数函数 \(e^{\alpha x}\)
正弦函数 \(\sin \beta x\) 和余弦函数 \(\cos \beta x\)
这些函数的乘积与线性组合

核心原则：根据非齐次项形式，假设特解具有相似结构，并乘以适当的幂次 \(x^k\) 以避开齐次解。

二、特解形式速查表

设方程特征根为 \(r\)（考虑重数）

非齐次项类型	特解的一般形式（假设）	\(k\) 的取值规则
\(P_n(x)\)（多项式）	\(x^k Q_n(x)\)	\(k=\) 0的重数（0不是根则 \(k=0\)）
\(e^{\alpha x}\)	\(A x^k e^{\alpha x}\)	\(k=\) \(\alpha\)的重数（不是根则 \(k=0\)）
\(\sin \beta x\) 或 \(\cos \beta x\)	\(x^k [A \cos \beta x + B \sin \beta x]\)	\(k=\) \(\pm i\beta\)的重数（不是根则 \(k=0\)）
\(P_n(x)e^{\alpha x}\)	\(x^k Q_n(x)e^{\alpha x}\)	\(k=\) \(\alpha\)的重数
\(e^{\alpha x}\sin \beta x\) 或 \(e^{\alpha x}\cos \beta x\)	\(x^k e^{\alpha x}[A\cos\beta x + B\sin\beta x]\)	\(k=\) \(\alpha \pm i\beta\)的重数
\(P_n(x)\sin \beta x\) 或 \(P_n(x)\cos \beta x\)	\(x^k [Q_n(x)\cos\beta x + R_n(x)\sin\beta x]\)	\(k=\) \(\pm i\beta\)的重数

说明：

\(P_n(x)\)、\(Q_n(x)\)、\(R_n(x)\) 均为 \(n\) 次多项式（系数待定）
\(A, B\) 为待定常数
\(k\) 的选择原则：使所设特解与齐次解线性无关（若特解中有与齐次解相同的项，则乘以 \(x^k\) 直到不同为止）

三、重要注意事项

叠加原理：若非齐次项由多个上述类型相加，则分别对每一部分假设特解，然后相加作为整个特解（注意各部分分别乘以各自的 \(x^k\) 避免与齐次解重复）。
避免重复的关键：
- 先写出齐次通解
- 如果非齐次项的“基本形式”（不含 \(x^k\) 因子的部分）出现在齐次解中，则乘以 \(x^k\)，其中 \(k\) 是该特征根的重数。
特例处理：
- 若同时出现 \(\sin \beta x\) 和 \(\cos \beta x\)，即使只有其中一个，特解中也要同时包含两项。
- 对于多项式与其他函数的乘积，多项式的次数必须完整保留。

四、解题流程示例

以方程 \(y'' - 2y' + y = xe^x\) 为例：

求齐次解：特征方程 \(r^2 - 2r + 1 = 0\)，解得 \(r = 1\)（二重根），齐次解 \(y_h = (C_1 + C_2 x)e^x\)。
分析非齐次项：\(xe^x\) 属于 \(P_n(x)e^{\alpha x}\) 类型，其中 \(\alpha = 1\)，\(n = 1\)。
设定特解：
- 因为 \(\alpha = 1\) 是二重特征根，取 \(k = 2\)（重数）。
- 故设 \(y_p = x^2 (Ax + B)e^x = (Ax^3 + Bx^2)e^x\)。
代入方程求系数：计算 \(y_p'\) 和 \(y_p''\)，代入方程，比较系数解出 \(A = \frac{1}{6}, B = 0\)（具体过程略）。
最终通解：\(y = y_h + y_p = (C_1 + C_2 x)e^x + \frac{1}{6}x^3 e^x\)。

五、适用范围提醒

待定系数法仅适用于常系数线性方程。对于变系数线性方程，一般使用常数变易法。对于欧拉方程，则先通过代换 \(x = e^t\) 转化为常系数方程，再按上述方法处理。