浙江大学2024学年数学分析 I 期中考试回忆卷
浙江大学 2024 学年数学分析 I 期中考试回忆卷。
一、求以下极限
\[ \begin{align} & \lim_{n\to \infty}\ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} \\ & \lim_{n\to\infty}\ \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+\frac{1}{k}} \\ & \lim_{n\to\infty}\ (n+e^n)^{\frac{1}{n}} \\ & \lim_{x\to-\infty} (\sqrt{x^2+x} + x) \\ & \lim_{x\to 0}\ (\sin^2x + \cos x) ^ {\frac{1}{x^2}} \\ & \lim_{x\to 1}\ (\frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3}) \end{align} \]注：使用洛必达法则没有过程分
二、写出下列命题的否定（不允许使用逻辑符号\(\lnot\)）
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数列 \(\{x_n\}\) 是正无穷大量
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\(\lim_{x\to x_0^+} = a\)
三、证明以下极限存在
\[ \lim_{x\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\arctan(k!)}{k^2} \]四、证明以下命题
函数 \(f(x)\) 在 \([0,+\infty)\) 上连续，且： \(\forall x \in [0,+\infty),\ 0\le f(x) \le x\)，取 \(x_0 \in [0,+\infty),\ x_n = f(x_{n-1})\)，求证：
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\(\lim_{n\to\infty}x_n\) 存在
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若 \(\lim_{n\to\infty}x_n = l\)，则 \(f(l)=l\)
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将题目条件中的 "\(\forall x \in [0,+\infty),\ 0\le f(x) \le x\)" 改为 "\(\forall x \in (0,+\infty),\ 0\le f(x) \lt x\)" 则：\(\lim_{n\to\infty}x_n = 0\)
五、
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叙述 Bolzanoe-Weierstress 定理（致密性定理）
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叙述确界原理
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叙述闭区间套原理
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用闭区间套原理证明确界原理