一元多项式

一元多项式的定义

首先给定一个整区 \(R\) ，一个符号 \(x\) ，那么有：

\[f(x) = a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n} + \cdots \]

为 \(\mathbb{F}\) 上的一元多项式 。注意这里的 \(x\) 只是一个符号，加法与数乘同样只是形式的。在上式中，若令 \(a_n\) 满足：\(\forall s > n,\ a_{s} = 0\) ，则记 \(\deg(f(x)) = \partial(f(x)) = n\) 。此处，我们规定零多项式的次数为 \(-\infty\) 。

接下来，仿照常规的多项式的运算，可以很容易地构造多项式的加法、加法逆元、乘法与数乘。

带余除法

在高等代数中我们已经证明了多项式的带余除法的商和余式的唯一性，它们的证明是容易的。

从而，给出单变量多项式的核心定理：

::: important 域 \(F\) 上的多项式环 \(F[x]\) 的任意一个理想为主理想。

::: 事实上，一个域 \(F\) 的多项式环是一个主理想整区。

多项式函数

对于任意的一个域 \(F\) ，显然其上的多项式环 \(F[x]\) 可以确定一个函数 \(f:F \to F\) ，这样的函数被称作多项式函数。显然，在一个一般的域上，不一定所有的函数都是多项式函数，例如 \(\mathbb{R}\) 上就显然不是。但是可以证明对于一个有限域上任意一个函数都是多项式函数，这可以通过简单的计数完成

::: info 有限域上的多项式函数证明 在 \(F\) 上任意多项式 \(f(x)\) 满足 \(deg(f) < q\) ，其中 \(q\) 为 \(F\) 中元素的个数。从而总共有 \(q\) 个系数，这些系数共有 \(q^q\) 中不同的组合，这显然是 \(f:F\to F\) 的总数

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Eisenstein 判别法

本原多项式

对于所有系数互素（注意不一定是两两互素）的多项式，我们称作本原多项式。它有一个重要的性质：

::: important 高斯引理 对于一个 UFD 上的 \(R\) 上的本原多项式 \(f(x)\) ，它在 \(R[x]\) 上的可约性等价于它在 \(F[x]\) 上的可约性，其中 \(F\) 为 \(R\) 的分式域。

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