线性微分方程组
线性微分方程组的解结构、矩阵指数与基本解组。
解的结构
线性齐次微分方程组解的结构
考虑一个线性齐次微分方程组：
\[\frac{ \mathrm{d} \mathbf{X} }{ \mathrm{d} t } =\mathbf{A}(t)\mathbf{X}\]首先容易得到它的解构成一个线性空间，并且我们也将证明他是一个 \(n\) 维的线性空间。
考虑一组向量值函数 \(\mathbf{X}_{1}(t) \dots \mathbf{X}_{n}(t)\) ，如果存在一组不全为 \(0\) 的常数 \(c_{1}\dots c_{n}\) 使得：
\[c_{1}\mathbf{X}_{1}(t) + \dots + c_{n}\mathbf{X}_{n}(t) \equiv \mathbf{0}\]则称这一组向量值函数线性相关，否则线性无关。这与线性代数中响亮的线性相关性是一致的。于是有了 Wronsky 行列式：
\[W(t) = \det(\mathbf{X}_{1}(t),\dots,\mathbf{X}_{n}(t))\]那么显然，这组向量值函数线性相关的充要条件是 \(W(t)\equiv 0\) 。接下来我们将证明一组向量值函数如果是一个线性微分方程组的解，那么他们的 Wronsky 行列式恒不为 \(0\) 。
::: important 引理 若 \(\mathbf{X}_{1}(t)\dots \mathbf{X}_{n}(t)\) 为一个 \(n\) 阶线性齐次微分方程组的解，那么它们在 \(I\) 上线性无关的充要条件是 \(W(t) \neq 0\) 对于一切 \(t\) 成立。
Proof. TODO
Warning. 注意这里一定要是 \(n\) 个线性齐次微分方程组的解，否则无法通过 Wronsky 行列式判断线性无关性。这里给出反例：
\[\mathbf{X}_{1} = (1,0,0)^T \qquad \mathbf{X}_{2} = (t,0,0)^T \qquad \mathbf{X}_{3} = (t^2,0,0)^T\]显然他们线性无关，但是他们的 Wronsky 行列式恒为 \(0\) 。
::: 接下来给出另一个引理：
::: important Liouville 公式 对于 \(n\) 维线性齐次微分方程组 \(\frac{ \mathrm{d} \mathbf{X} }{ \mathrm{d} t } = \mathbf{A}(t)\mathbf{X}\) 的一组线性无关解，他们的行列式满足：
\[W(t) = W(t_{0})e^{ \int_{t_{0}}^t \mathrm{tr}\mathbf{A}(s) \mathrm{d} s }\]Proof. TODO
::: 从而可以证明 \(n\) 阶线性齐次微分方程组的解是一个 \(n\) 维的线性空间。从而类似线性代数中基础解系的定义，我们称满足方程的任意 \(n\) 个线性无关解为方程的基本解组，以它们为列向量构成的矩阵 \(\mathbf{\Phi}(t) = (\mathbf{X}_{1}(t),\dots,\mathbf{X}_{n}(t))\) 称作基解矩阵，称满足 \(\mathbf{\Phi}(t_{0})\) 为单位矩阵的基解矩阵为预解式。在这样的记号下，我们可以写出线性齐次微分方程组的通解：
\[\mathbf{X}(t) = \mathbf{\Phi}(t)\mathbf{C},\quad \mathbf{C}\in \mathbb{R}^n\]这里的 \(\mathbf{C}\) 为常向量。
非齐次微分方程组解的结构
对于非齐次微分方程组解的结构不能指望它像齐次的时候一样简单，但是齐次情形的很多结论可以直接应用。
考虑非齐次微分方程组 \(\frac{ \mathrm{d} \mathbf{X} }{ \mathrm{d} t } = \mathbf{A}(t)\mathbf{X} + \mathbf{B}(t)\) ，若它对应的齐次方程有基解矩阵 \(\mathbf{\Phi}(t)\) ，非齐次方程有特解 \(\mathbf{X}^*(t)\) ，则非齐次方程有通解：
\[\mathbf{X}(t) = \mathbf{\Phi}(t)\mathbf{C} + \mathbf{X}^{*}(t)\]这与线性代数中对于非齐次方程组的讨论是一致的。
这些理论似乎可以通过李代数的方式统一起来，似乎可以把它们统一到一个线性算子方程中。
对于非齐次微分方程组的求解，同样可以通过常数变易法求解，具体而言，把 \(\mathbf{X}(t) = \mathbf{\Phi}(t)\mathbf{C}\) 中的 \(\mathbf{C}\) 替换为关于 \(t\) 的函数 \(\mathbf{C}(t)\) ，然后转化为另一个齐次微分方程组即可。
高阶线性微分方程解的结构
对于一个 \(n\) 阶微分方程：
\[\frac{\mathrm{d}^nx}{\mathrm{d}t^n} + p_{1}(t)\frac{\mathrm{d}^{n-1}x}{\mathrm{d}t^{n-1}} + \cdots + p_{n}(t)x = q(t)\]做换元：
\[x_{1} = x,\quad x_{2}=\frac{ \mathrm{d} x_{1} }{ \mathrm{d} t } ,\quad x_{3}=\frac{ \mathrm{d} x_{2} }{ \mathrm{d} t } ,\quad \dots, x_{n}=\frac{ \mathrm{d} x_{n-1} }{ \mathrm{d} t } \]则原方程可以化作一个 \(n\) 阶微分方程组，那么他的解的情况自然可以直接沿用微分方程组理论中的结果。
微分方程组的求解
齐次方程组通解
利用矩阵微积分中的矩阵指数函数等可以得到通解：
\[\mathbf{X}(t) = \mathbf{X}(t_{0})e^{ \int_{t_{0}}^{t} \mathbf{A}(s)\mathrm{d}s }\]也即：
\[\mathbf{\Phi}(t) = e^{ \int_{t_{0}}^t \mathbf{A}(s)\mathrm{d}s }\]常系数线性齐次微分方程组
此时有
\[\mathbf{X}(t) = \mathbf{X}(t_{0})e^{ \mathbf{A}(t-t_{0}) }\]不失一般性，可令 \(t_{0}=0\) 。下面从系数矩阵 \(\mathbf{A}\) 是否可对角化出发讨论最终的解矩阵。
可对角化
此时考虑 \(\mathbf{A}\) 的特征值 \(\lambda\) 和对应的特征向量 \(\boldsymbol{\xi}\) 有，令 \(\mathbf{X}(t)\) 为满足 \(\mathbf{X}(0)=\boldsymbol{\xi}\) 的解，令 \(\mathbf{Y}(t) = \mathbf{A}\mathbf{X}(t) - \lambda \mathbf{X}(t)\) ，则其为原方程满足 \(\mathbf{Y}(0)=\mathbf{0}\) 的解。初值问题的唯一性定理可以得到总有 \(\mathbf{Y}(t)=\mathbf{0}\) ，从而：
\[\frac{ \mathrm{d} \mathbf{X} }{ \mathrm{d} t } = \mathbf{A}\mathbf{X}(t) = \lambda \mathbf{X}(t),\qquad \mathbf{X}(0) = \boldsymbol{\xi}\]从而有：
\[\mathbf{X}(t) = \boldsymbol{\xi}e^{ \lambda t }\]从而得到：
\[\boldsymbol{\Phi} = (\boldsymbol{\xi}_{1}e^{ \lambda_{1}t },\dots,\boldsymbol{\xi}_{n}e^{ \lambda_{n}t })\]另一方面，考虑 \(\mathbf{A}\) 的对角化 \(\mathbf{A}=\mathbf{P}\boldsymbol{\Lambda}\mathbf{P}^{-1}\) ，则有：
\[\boldsymbol{\Phi} = e^{ \mathbf{A}t } = e^{ \mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1}t } = \mathbf{P} e^{ \mathbf{\Lambda}t } \mathbf{P}^{-1}\]事实上这两组基础解系只相差一组常数因子 \(\mathbf{P}^{-1}\) 。
不可对角化
此时 \(\mathbf{A} = \mathbf{P} \mathbf{J} \mathbf{P}^{-1}\) 。同样的，可以仿照高等代数中对于 Jordan 标准型的讨论得到一个类似形式的解。
另一方面，我们可以把 \(\mathbf{J}\) 分解为 \(\boldsymbol{\Lambda} + \mathbf{D}\) ，其中 \(\mathbf{D}\) 为一个幂零的矩阵。显然他们可交换，从而可以分解为两个矩阵的乘积。从而对于一个 Jordan 块，可以得到：
\[e^{ \mathbf{J}t } = e^{ (\lambda \mathbf{E} + \mathbf{D})t } = e^{ \lambda t } e^{ \mathbf{D}t } = e^{ \lambda t } \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k!} \mathbf{D}^kt^k\]即：
\[e^{ \mathbf{J}t } = \begin{pmatrix} 1 & t & \frac{1}{2}t^2 & \cdots & \frac{1}{(n-1)!}t^{n-1} \\ 0 & 1 & t & \cdots & \frac{1}{(n-2)!}t^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} e^{ \lambda t }\]此时又有 \(\mathbf{P}^{-1}\) 可逆，从而可以得到一个基解矩阵：
\[\mathbf{\Phi}(t) = \mathbf{P}e^{ \mathbf{J}t }\]注：这里的这里这个基解矩阵也可以不通过计算 Jordan 链得到，但是仍然需要知道矩阵的每个 Jordan 块的大小，也就是对应的最小多项式的次数。
高阶常系数线性微分方程
这样的方程事实上可以化作一个微分方程组，因此很多思想都是来自微分方程组的讨论中。
变系数线性微分方程的一些解法
Euler 方程
这样的方程形如：
\[x^n y^{(n)} + a_{1}x^{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{n}y = f(x)\]即导数阶数与 \(x\) 的指数幂次相同。对于这样的方程可以做变量代换 \(x=e^{ t }\) 化为常系数线性方程求解。
降阶法
考虑一个一般形式的高阶变系数线性齐次微分方程，如果能够求得一个非平凡解 \(y_{1}(x)\) ，则可以做变量代换 \(y(x)=y_{1}(x)u(x)\) 化为关于 \(u(x)\) 的 \(n-1\) 阶微分方程求解。
幂级数法和广义幂级数法
对于一个方程，若在 \(x_{0}\) 处其系数函数均解析则称其为常点，否则称为奇点。这是为了保证 Taylor 级数本身的存在性。在常点附近，可以利用幂级数法求解得到无穷级数形式的解，它们形如：
\[y(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_{n} (x-x_{0})^n\]具体的求解过程只需要把级数代入方程即可。
当某点为奇点的时候，一般的幂级数法无法求解，但是有时仍然可以有类似幂级数形式的解，这种方法称作广义幂级数法，也叫Frobenius 级数法。若 \(x_{0}\) 是方程 \(y''+P(x)y'+Q(x)y=0\) 的一个奇点，但是 \(xP(x), x^2Q(x)\) 均解析，则称其为一个正则奇点。这个时候，可以假设方程有如下形式的解：
\[y(x) = (x-x_{0})^r \sum_{x=0}^{+\infty}c_{n}(x-x_{0})^n\]代入后即可求解
TODO: 关于广义幂级数的细节