中国剩余定理
中国剩余定理的环论版本。
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同余方程形式
考虑数论中的 CRT：对于一组两两互素的整数 \(m_{i}\) ，线性同余方程组：
\[\begin{cases} \begin{align} x &\equiv a_{1} \qquad (\text{mod}\ m_{1}) \\ x &\equiv a_{2} \qquad (\text{mod}\ m_{2}) \\ &\cdots \\ x &\equiv a_{n} \qquad (\text{mod}\ m_{n}) \end{align} \end{cases}\]对于所有的整数 \(a_{1},\cdots ,a_{n}\) 有解，且在模 \(M = m_{1}m_{2}\cdots m_{n}\) 的意义下是唯一的。这个形式可以很自然地推广到环上，因为环论的同余符号本身就是从数论中延申出来的，从而只需要将其中的 \(m_{i}\) 替换为理想即可。
同态形式
考虑交换环 \(R\) ，其上的理想 \(I_{1}, \cdots ,I_{n}\) 两两互素，则存在同态：
\[\phi:R \to R/I_{1} \times R/I_{2} \times \cdots \times R/I_{n} \ \quad r \mapsto (r+I_{1}, r+I_{2}, \cdots, r+I_{n})\]容易证明 \(\mathrm{Ker}\phi = \cap_{i=1}^{n} I_{i} = I_{1}I_{2}\cdots I_{n}\) 且为满射，且可以证明这是一个满同态，从而由第一同态定理有：
\[R/(I_{1}\cap I_{2} \cap \cdots \cap I_{n}) \cong R/I_{1} \times R/I_{2} \times \cdots \times R/I_{n}\]这是 CRT 的一个更本质的实现。
可以看出，同态的形式和同余方程的形式是等价的，这是因为每一个 \(R/I_{i}\) 中的元素 \(r+I_{i}\) 可以视作一个等价类，那么同余方程相当于给出了这个同态映射 \(\phi\) 的一个像 \((a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})\) 。由于这个环同构的存在，可以给出一个 \(R/(I_{1}I_{2}\cdots I_{n})\) 中的唯一的一个原像，即原本的线性同余方程组在模意义下的唯一解。事实上这也给出了求解线性同余方程组的一种做法。
对于这种形式的 CRT，它的证明是简单的，只需按照一般的手法构造同态证明它是满的即可。
广义中国剩余定理（理想不必互素）
上面的 CRT 要求理想两两互素，本质上对应于 \(I_{i}+I_{j}=R\)。若不要求互素，则一般不再有
\[R/(I\cap J)\cong R/I\times R/J\]这样的满射同构，但仍然存在一个自然的相容性刻画。
设 \(R\) 为交换环，\(I,J\lhd R\)。考虑映射
\[\phi:R\to R/I\times R/J,\qquad r\mapsto (r+I,r+J).\]容易验证
\[\ker\phi=I\cap J.\]另一方面，定义
\[\psi:R/I\times R/J\to R/(I+J),\qquad (a+I,b+J)\mapsto (a-b)+(I+J).\]这个映射是良定的，因为若 \(a-a'\in I\) 且 \(b-b'\in J\)，则
\[(a-b)-(a'-b')=(a-a')-(b-b')\in I+J.\]并且有
\[\operatorname{Im}\phi=\ker\psi.\]于是得到短正合列
\[0\to R/(I\cap J)\to R/I\times R/J\to R/(I+J)\to 0.\]这说明：
- 一个二元组 \((a+I,b+J)\) 能来自某个 \(r\in R\)，当且仅当它在 \(R/(I+J)\) 中相容，即
- 换成同余语言，就是
有解，当且仅当
\[a\equiv b\pmod{I+J}.\]- 若有解，则所有解构成模 \(I\cap J\) 的一个剩余类。
当 \(I+J=R\) 时，\(R/(I+J)=0\)，于是 \(\psi\) 的余项消失，就退化回普通 CRT：
\[R/(I\cap J)\cong R/I\times R/J.\]所以广义 CRT 可以理解为：普通 CRT 只是“相容条件自动成立”的特例。
数论中的应用：取 \(R = \mathbb{Z}\)，\(I_i = m_i\mathbb{Z}\)，即得经典的中国剩余定理。由此可推导 Euler 函数的乘性、原根存在性的刻画等重要结论，参见 中国剩余定理与Euler定理。
数论中的非互素版本：取 \(I=m\mathbb{Z},J=n\mathbb{Z}\)，则 \(I+J=\gcd(m,n)\mathbb{Z}\)，\(I\cap J=\operatorname{lcm}(m,n)\mathbb{Z}\)，从而得到 EXCRT 的判据与唯一性，参见 中国剩余定理与Euler定理 中“广义中国剩余定理（EXCRT）”一节。