可解群

可解群主要研究的是关于非交换群的结构的一些性质

正规群列与合成群列

对于一个群 \(G\) ，如果有：

\[\{ e \} = G_{0} \unlhd G_{1} \unlhd \dots \unlhd G_{r} = G\]

则称这一列子群为 \(G\) 的一个正规群列，其中 \(G_{i}/G_{i-1}\) 称作商因子。如果每一个商因子都是单群，则称这个正规群列为一个合成群列 。合成群列保证了这个分解一定是最长的，中间不会夹杂其它的分解，类似于线性代数中的 Jordan 标准型。

从而可以给出一个重要的定理：

::: important Jordan-Holder 定理 对于任意一个有限群 \(G\) ，它的合成群列在允许交换同构的商因子顺序的前提下是唯一的。

::: 用更严谨的语言可以描述成：对于它的任意两个合成群列：

\[\begin{align} \{ e \} = H_{0} \unlhd H_{1} \unlhd \dots \unlhd H_{s} = G \\ \{ e \} = G_{0} \unlhd G_{1} \unlhd \dots \unlhd G_{r} = G \end{align}\]

则有： \(r=s\) 且存在一个置换 \(\sigma_{r}\) 满足 \(G_{i}/G_{i-1} \cong H_{\sigma(i)}/H_{\sigma(i)-1}\) 。

这个定理可以通过归纳法给出证明。

可解群

设 \(G\) 是一个群，如果它具有一个正规群列，且所有的商群都是 Abel 群，则称 \(G\) 为一个可解群。有时可解群的定义也可以从换位子群的角度出发描述：对于一个群，定义导群列为这样的一列群：

\[\begin{align} G^{(0)} &= G \\ G^{(1)} &= [G^{(0)}, G^{(0)}] \\ &\vdots \\ G^{(n)} &= [G^{(n-1)}, G^{(n-1)}] \end{align}\]

其中 \([G,G]\) 表示 \(G\) 的换位子群，有时也叫导群。如果一个群的导群列最终收敛到 \(\{ e \}\) ，那么它被称作可解群。容易证明这两个定义是等价的，因为如果一个群 \(G\) 的正规子群 \(H\) 满足 \(G/H\) 是 Abel 群，那么总有 \([G,G] \unlhd H\) 。或者说，对于一个可解群，导群列是它的满足条件的正规群列中下降最快的一个群列。

可以给出一些关于可解群的命题：

1. 任意一个 \(p\)-群一定是可解群。