Riemann zeta 函数与解析数论基础
Riemann zeta 函数的解析延拓、函数方程与解析数论基础。
黎曼 ζ 函数
定义与收敛性
对复变量 \(s = \sigma + it\)（\(\sigma = \Re(s) > 1\)），定义
\(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}\)
定理：对任意 \(\delta > 0\)，级数在 \(\Re(s) \geq 1+\delta\) 上绝对一致收敛，因此 \(\zeta(s)\) 在半平面 \(\Re(s) > 1\) 上解析。
欧拉乘积公式
定理：当 \(\Re(s) > 1\) 时， \(\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}\)
证明：考虑有限部分积 \(\prod_{p \leq N} (1-p^{-s})^{-1} = \prod_{p \leq N} \sum_{a=0}^{\infty} p^{-as}\)。展开有限乘积，由算术基本定理每一项恰好对应一个素因子均 \(\leq N\) 的整数 \(n\)。因此
\(\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^s} \leq \prod_{p \leq N} \frac{1}{1-p^{-s}} \leq \zeta(s)\)
令 \(N \to \infty\) 即得。
欧拉乘积是算术基本定理的分析等价物。它也给出素数无穷多的又一证明：若素数有限，乘积在 \(s = 1\) 处有界，但 \(\zeta(s) \to \infty\)。
Γ 函数
定义
对 \(\Re(s) > 0\)，
\(\Gamma(s) = \int_0^{\infty} y^{s-1} e^{-y}\, \frac{dy}{y}\)
基本性质
- 解析性：\(\Gamma(s)\) 在 \(\Re(s) > 0\) 上解析，可解析延拓到整个复平面（以非正整数为极点）。
- 函数方程：
- \(\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)\)（递推关系）
- \(\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\)（余元公式）
- \(\Gamma(s)\Gamma(s+\frac{1}{2}) = 2^{1-2s}\sqrt{\pi}\,\Gamma(2s)\)（倍元公式）
- 特殊值：\(\Gamma(n) = (n-1)!\)，\(\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}\)。
解析延拓
当 \(\Re(s) > 1\) 时，分部积分给出 \(\Gamma(s) = (s-1)\Gamma(s-1)\)。定义 \(f_1(s) = \Gamma(s+1)/s\)，它在 \(\Re(s) > -1\)（\(s \neq 0\)）上解析且等于 \(\Gamma(s)\)。反复此过程可将 \(\Gamma\) 延拓到整个复平面（挖掉非正整数）。
θ 函数与 Poisson 求和公式
θ 函数
对上半平面中的 \(s\)（\(\Re(s) > 0\)），
\(\theta(s) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i n^2 s}\)
完备 ζ 函数
通过变量替换 \(y \mapsto \pi n^2 y\)，对 \(n\) 求和后得到
\(\pi^{-s/2}\Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s) = \frac{1}{2}\int_0^{\infty}(\theta(iy)-1)\, y^{s/2}\,\frac{dy}{y}\)
定义完备 ζ 函数
\(\xi(s) = \pi^{-s/2}\Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)\)
θ 函数的对称性
关键性质：对上半平面中的 \(\tau\)， \(\theta\!\left(-\frac{1}{\tau}\right) = \sqrt{\frac{\tau}{i}}\,\theta(\tau)\)
证明：对 \(f(x) = e^{\pi i \tau x^2}\) 计算 Fourier 变换，通过高斯积分和配方法得 \(\hat{f}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{-i\tau}} e^{-\pi i\xi^2/\tau}\)。然后应用 Poisson 求和公式 \(\sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \hat{f}(k)\)。
ζ 函数的解析延拓
定理：\(\zeta(s)\) 可解析延拓到整个复平面，仅在 \(s=1\) 处有简单极点，留数为 1。
证明：将 \(\xi(s)\) 的积分拆为 \((0,1)\) 和 \((1,\infty)\) 两部分。
\((1,\infty)\) 部分对所有 \(s\) 绝对收敛（\(\theta(iy)-1\) 当 \(y \to \infty\) 时指数衰减）。
对 \((0,1)\) 部分，变量替换 \(y \mapsto 1/y\) 并利用 \(\theta(i/y) = \sqrt{y}\,\theta(iy)\)。最终得到
\(\xi(s) = \frac{1}{s(s-1)} + \frac{1}{2}\int_1^{\infty}\left(\theta(iy) - 1\right)\left(y^{s/2} + y^{(1-s)/2}\right)\frac{dy}{y}\)
右边的积分对所有 \(s \in \mathbb{C}\) 绝对收敛。
函数方程
定理：\(\xi(s) = \xi(1-s)\)，即 \(\pi^{-s/2}\Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s) = \pi^{-(1-s)/2}\Gamma\!\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta(1-s)\)
证明：在 \(\xi(s)\) 的表达式中，\(\frac{1}{s(s-1)}\) 和 \(y^{s/2} + y^{(1-s)/2}\) 在 \(s \mapsto 1-s\) 下不变。
平凡零点
在函数方程中，\(\Gamma(s/2)\) 在 \(s = -2, -4, -6, \ldots\) 处有极点。由于 \(\xi(s)\) 整体解析，必须有
\(\zeta(-2m) = 0, \quad m = 1, 2, 3, \ldots\)
这些是 ζ 函数的平凡零点。
黎曼假设
ζ 函数的所有非平凡零点都位于临界线 \(\Re(s) = 1/2\) 上。
这是数学中最重要的未解决问题之一。已验证前 \(10^{13}\) 个非平凡零点全部位于临界线上，超过 1000 个数学问题的解决依赖于黎曼假设。
ζ 函数在 \(s=1\) 附近的行为
\(\zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma + O(s-1)\)
其中 \(\gamma\) 为 Euler-Mascheroni 常数。
对数导数
对欧拉乘积取对数求导：
\(-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_p \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\log p}{p^{ks}}\)
当 \(s \to 1^+\) 时，主要发散项来自 \(\sum_p (\log p)/p^s\)。
L 函数与朗兰兹纲领
L 函数的三大性质
ζ 函数满足的三条核心性质可推广到更一般的 L 函数：
- 欧拉乘积：在 \(\Re(s)\) 充分大时可表示为局部因子的乘积。
- 解析延拓：可延拓到整个复平面（可能有限个极点）。
- 函数方程：具有对称性 \(\Lambda(s) = \epsilon\,\overline{\Lambda(1-\bar{s})}\)。
朗兰兹纲领
建立自守表示（偏分析）与 Galois 表示（偏代数）之间的对应，通过 L 函数的相等来刻画：\(L(s, \pi) = L(s, \rho)\)。
这可以看作 Galois 理论 的极大推广——Galois 对应建立的是域扩张与群之间的字典，而 Langlands 纲领建立的是表示论与分析对象之间的字典。
- 最简单的自守 L 函数就是 Riemann ζ 函数。
- Dirichlet 特征给出 Dirichlet L 函数，是下一个自然情形。
- 二次互反律是这个框架的特例。
Dirichlet 密度
定义
设 \(S\) 是素数集合的子集。\(S\) 的Dirichlet 密度定义为
\(\delta(S) = \lim_{s \to 1^+} \frac{\sum_{p \in S} p^{-s}}{\sum_p p^{-s}}\)
基本性质
- 全体素数的 Dirichlet 密度为 1。
- 不交并的密度可加。
Dirichlet 密度定理
定理：设 \((a,m)=1\)，则 \(\{p : p \equiv a \pmod{m}\}\) 的 Dirichlet 密度为 \(1/\varphi(m)\)。
即素数在模 \(m\) 的各个可逆同余类中是等分布的。证明需要 Dirichlet L 函数，详见 Dirichlet特征与L函数。