微分方程解的存在性与唯一性
Picard 存在唯一性定理及其证明框架。
Peano 存在性定理
Euler 折线
考虑区间内的每一个点 \(x_{i}\) ，过这一点做对应斜率的一条线段，连接成一条折线，这条折线称作Euler 折线。
Peano 存在性定理的证明
显然，Euler 折线可以表示为：
\[\phi_{n}(x) = y_{0}+\sum_{i=1}^N f(x_{i-1},y_{i-1})(x_{i}-x_{i-1}) + f(x_{N},y_{N})(x-x_{N})\]则只需证明它满足：
\[\phi_{n}(x) = y_{0}+\int_{x_{0}}^x f(x,\phi_{n}(x))\mathrm{d}x+\delta_{n}(x)\]且 \(\delta_{n}(x)\) 一致收敛于 \(0\) 。
Picard 存在唯一性定理
Picard 迭代序列
考虑迭代序列：
\[\begin{align} y_{0}(x) &= y_{0} \\ y_{n}(x) &= y_{0} + \int_{x_{0}}^x f(s, y_{n-1}(s)) \mathrm{d}s \end{align}\]考虑归纳法，可以证明在满足局部 Lipschitz 条件时函数序列收敛，从而一定存在一个解。
注意 Picard 迭代序列收敛不一定代表初值问题解是唯一的，例如 \(y’=\frac{3}{2}y^{1/3}\) 在原点处的 Picard 迭代序列始终为 \(0\) ，但是显然有解 \(y=x^{3/2}\) ，这是因为在原点附近它不满足 Lipschitz 条件。事实上，能够保证初值问题解的唯一性成立的条件不一定能够保证 Picard 迭代序列的收敛性。
Osgood 条件
Cauchy 存在定理
Cauchy 存在定理从幂级数的角度考虑给出了另一个存在唯一性定理。
对于一个函数 \(f(x,y)\) ，若它在区域 \(R = \{(x,y)|\ |x-x_{0}|<\alpha, |y-y_{0}| < \beta\}\) 上解析，则初值问题在 \(x_{0}\) 的某个邻域上有唯一的实解析解。