ODE 相关定理和定义整理
ODE 课程相关定理与定义的总整理。
ODE 术语和公式汇总
这是一个汇总 ODE（常微分方程）相关笔记中出现的术语和公式的文件。每个术语或公式后会链接到对应的原笔记文件。基于当前 vault 中的所有 ODE 相关笔记整理，包括存在唯一性、线性方程、稳定性、几何理论、比较定理等内容。
主要术语
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Euler 折线：通过区间内点做对应斜率线段连接成的折线，用于证明 Peano 存在性定理。
微分方程解的存在性与唯一性 -
Picard 迭代序列：迭代定义 \(y_n(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(s, y_{n-1}(s)) \, ds\)，用于证明局部存在唯一解。
微分方程解的存在性与唯一性 -
Osgood 条件：确保初值问题解唯一性的条件，涉及积分收敛性。
微分方程解的存在性与唯一性 -
Cauchy 存在定理：若 \(f(x,y)\) 在区域内解析，则初值问题在邻域上有唯一实解析解。
微分方程解的存在性与唯一性 -
饱和解：积分曲线在区域 \(G\) 内延伸到边界的解。
延拓与比较定理 -
一致 Lipschitz 条件：\(|f(x,y_1) - f(x,y_2)| \leq K |y_1 - y_2|\)，\(K\) 与 \(x\) 无关，确保整体存在性。
延拓与比较定理 -
右行最大解/右行最小解：包围其他解的上下解。
延拓与比较定理 -
连续依赖性问题：解作为初值函数的连续性。
解的连续依赖性问题 -
局部 Lipschitz 条件：在区域 \(G\) 上局部满足 Lipschitz，确保唯一性和连续依赖。
解的连续依赖性问题 -
Lyapunov 稳定性：初始扰动小则状态保持在 \(\epsilon\) 内。
稳定性理论 -
一致稳定性：\(\delta\) 只依 \(\epsilon\)，不依起始时间 \(t_0\)。
稳定性理论 -
吸引性：状态最终趋于平衡点。
稳定性理论 -
一致吸引性：收敛速度不依 \(t_0\)。
稳定性理论 -
渐近稳定：Lyapunov 稳定 + 吸引性。
稳定性理论 -
一致渐近稳定：一致稳定 + 一致吸引性。
稳定性理论 -
Jacobian 矩阵：线性近似中的 \(\mathbf{A}(t) = \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \big|_{\mathbf{x}=0}\)。
稳定性理论 -
基解矩阵：线性无关解构成的矩阵 \(\mathbf{\Phi}(t)\)。
线性微分方程组 -
Wronsky 行列式：\(W(t) = \det(\mathbf{X}_1(t), \dots, \mathbf{X}_n(t))\)，判断线性无关性。
线性微分方程组 -
Liouville 公式：\(W(t) = W(t_0) \exp\left( \int_{t_0}^t \operatorname{tr} \mathbf{A}(s) \, ds \right)\)。
线性微分方程组 -
状态转移矩阵：\(\mathbf{\Phi}(t) \mathbf{\Phi}^{-1}(s)\)。
线性微分方程组 -
预解式：\(\mathbf{\Phi}(t_0) = I\) 的基解矩阵。
线性微分方程组 -
Euler 方程：\(x^n y^{(n)} + a_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = f(x)\)，通过 \(x = e^t\) 化为常系数。
线性微分方程组 -
降阶法：若知一非平凡解 \(y_1(x)\)，设 \(y = y_1 u\)，降为 \((n-1)\) 阶。
线性微分方程组 -
常点/奇点：系数在 \(x_0\) 解析为常点，否则奇点。
线性微分方程组 -
正则奇点：\(x P(x), x^2 Q(x)\) 解析的奇点，使用 Frobenius 级数 \(y = (x-x_0)^r \sum c_n (x-x_0)^n\)。
线性微分方程组 -
矩阵指数函数：\(e^{\mathbf{A}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \mathbf{A}^k\)，用于常系数解 \(\mathbf{X}(t) = e^{\mathbf{A} t} \mathbf{X}(0)\)。
矩阵微积分 -
交换性条件：\(\mathbf{A}(t) \int_{t_0}^t \mathbf{A}(s) \, ds = \int_{t_0}^t \mathbf{A}(s) \, ds \cdot \mathbf{A}(t)\)，确保 Picard 定理适用。
矩阵微积分 -
\(p\)-判别法：解 \(F(x,y,p)=0, F_p(x,y,p)=0\) 的曲线为可能奇解。
奇解 -
\(C\)-判别法：通解 \(\Phi(x,y,C)=0\) 和 \(\partial \Phi / \partial C = 0\) 的曲线为可能奇解。
奇解 -
齐次方程：\(y' = f(x,y)\)，\(f(tx,ty) = f(x,y)\)，通过 \(u = y/x\) 分离变量。
一阶微分方程 -
恰当方程：\(M dx + N dy = 0\)，\(\partial M / \partial y = \partial N / \partial x\)，有隐解 \(F(x,y)=C\)。
一阶微分方程 -
积分因子：\(\mu(x,y)\) 使 \(\mu M dx + \mu N dy\) 恰当，满足偏微分方程。
一阶微分方程 -
Bernoulli 方程：\(y' + g(x) y = h(x) y^\alpha\)，\(\alpha \neq 0,1\)，通过 \(z = y^{1-\alpha}\) 线性化。
一阶微分方程 -
Riccati 方程：\(y' + g(x) y + h(x) y^2 = k(x)\)，知特解 \(\phi\) 后 \(y = \phi + 1/u\) 化为 Bernoulli。
一阶微分方程 -
参数法：参数化 \(p = y'\)，解 \(F(x,y,p)=0\) 和 \(dy = p dx\)。
一阶微分方程 -
等度连续：函数列 \(\{f_n\}\) 在 \(I\) 上，对 \(\varepsilon>0\) 存 \(\delta>0\)，\(|x_1 - x_2| < \delta\) 则 \(|f_n(x_1) - f_n(x_2)| < \varepsilon\)，\(\forall n\)。
函数列的一些性质 -
一致有界：\(|f_n(x)| \leq K\)，\(K\) 不依 \(n,x\)。
函数列的一些性质 -
Ascoli-Arzela 定理：等度连续 + 一致有界函数列有一致收敛子列。
函数列的一些性质 -
相空间/轨线/相图：状态空间、解曲线、轨迹图。
几何理论 -
奇点：\(\dot{x} = 0\) 的点。
几何理论 -
不变直线：轨线上的直线。
几何理论 -
稳定结点/不稳定结点/鞍点：线性自治系统奇点分类，基于实特征值符号。
几何理论 -
星形结点/退化结点：相等实根情况。
几何理论 -
中心/焦点：复根情况，实部 \(0\) 为中心，非 \(0\) 为焦点。
几何理论 -
极限环：闭轨线，吸引或排斥其他轨线。
几何理论 -
比较定理：\(f(x,y) < F(x,y)\) 则 \(\phi(x) < \Phi(x)\)。
延拓与比较定理 -
Gronwall 不等式：\(u(t) \leq \beta(t) + \int_a^t \alpha(s) u(s) \, ds\)，\(\alpha,\beta,u \geq 0\)，\(\beta\) 单调不减，则 \(u(t) \leq \beta(t) \exp\left( \int_a^t \alpha(s) \, ds \right)\)。
Gronwall不等式 -
待定系数法：常系数线性方程，非齐次项为多项式/指数/三角函数，假设特解形式求系数。
一阶微分方程 (注：总结在末尾部分) -
上下解构造：比较函数如 \(\tan(kx + \theta)\) 用于二次增长，\((L-x)^{-\alpha}\) 用于超二次，用于估计存在区间。
上下解的构造技巧
主要公式
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Peano 存在性定理：\(f\) 连续则初值问题局部存在解（不唯一）。Euler 折线 \(\phi_n(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(x, \phi_n(x)) \, dx + \delta_n(x)\)，\(\delta_n \to 0\)。
微分方程解的存在性与唯一性 -
Picard 存在唯一性定理：\(f\) 连续且局部 Lipschitz 则局部唯一解。
微分方程解的存在性与唯一性 -
解的连续依赖性定理：\(f\) 局部 Lipschitz，\([a,b]\) 闭子区间，则 \(\lim_{(\xi,\eta) \to (x_0,y_0)} \phi(x;\xi,\eta) = \phi(x;x_0,y_0)\)，\(x \in [a,b]\) 一致。
解的连续依赖性问题 -
解对初值的可微性定理：\(f_y\) 连续则 \(\phi(x;x_0,y_0)\) 可微。
解的连续依赖性问题 -
延拓定理：积分曲线 \(\Gamma\) 在 \(G\) 内延伸到边界。
延拓与比较定理 -
第一比较定理：\(f < F\) 则 \(\phi < \Phi\)。
延拓与比较定理 -
线性齐次方程组通解：\(\mathbf{X}(t) = \mathbf{\Phi}(t) \mathbf{C}\)。
线性微分方程组 -
非齐次通解：\(\mathbf{X}(t) = \mathbf{\Phi}(t) \mathbf{C} + \mathbf{X}^*(t)\)。
线性微分方程组 -
常系数解：\(\mathbf{X}(t) = e^{\mathbf{A} t} \mathbf{X}(0)\)。对角化：\(\mathbf{\Phi}(t) = P e^{\Lambda t} P^{-1}\)；Jordan：涉及 \(t^k e^{\lambda t}\)。
线性微分方程组 -
积分因子条件：\(\frac{1}{\mu} (N \mu_x - M \mu_y) = \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}\)。只依 \(x\)：\(\ln \mu = \int \frac{\partial M / \partial y - \partial N / \partial x}{N} dx\)。
一阶微分方程 -
线性近似稳定性：\(\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}(t) \mathbf{x} + \mathbf{R}(t,\mathbf{x})\)，\(\|\mathbf{\Phi}(t)\|\) 有界则稳定。常矩阵：特征值实部 \(<0\) 则一致渐近稳定。
稳定性理论 -
Gronwall 非齐次：\(u(t) \leq \beta(t) + \int_a^t [u(s) \alpha(s) + K] ds\)，则 \(u(t) \leq [\beta(t) + K(t-a)] \exp(\int_a^t \alpha ds)\)。
Gronwall不等式 -
待定系数特解形式：例如 \(P_n(x) e^{\alpha x}\)：\(x^k Q_n(x) e^{\alpha x}\)，\(k=\) \(\alpha\) 重数。
一阶微分方程 (注：总结在末尾部分) -
上下解构造表：\(y' \approx y^2 + k^2\)：\(u(x) = k \tan(kx + \pi/4)\)，爆破 \(x = \pi/(4k)\)。\(y^p\) (\(p>1\))：\(u(x) = C (L-x)^{-1/(p-1)}\)。
上下解的构造技巧 -
线性自治系统奇点：\(\dot{\mathbf{x}} = Q \mathbf{x}\)，\(Q\) 特征值决定：两负实根稳定结点；一对共轭复根实部 \(<0\) 稳定焦点。
几何理论
证明概述与练习
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连续依赖性证明：有限覆盖 + Picard + 延拓 + Gronwall。
解的连续依赖性问题 -
稳定性线性判别：基解矩阵 \(\|\mathbf{\Phi}(t) \mathbf{\Phi}^{-1}(s)\| \leq M e^{-\alpha(t-s)}\) 则一致渐近稳定。
稳定性理论 -
Wronsky 线性无关：\(W(t) \neq 0\) \(\forall t\)。
线性微分方程组 -
练习题示例：比较定理估计存在区间，如 \(y' = y^2 + \sin t, y(0)=1\)，用 \(u' = u^2 +1\) 比较。Gronwall 用于非线性压线性。
ODE练习题 -
上下解技巧：分段比较、积分不等式证明全局存在或爆破上下界。
上下解的构造技巧
注：此文件基于当前 vault 中的所有 ODE 笔记整理（如存在唯一性、线性方程、稳定性等）。如果有新文件或更新，请提供额外上下文扩展。空笔记如 ODE 相关定理和定义整理 未包含具体内容。