级数理论
数项级数与函数项级数的收敛性判定。
正项级数收敛性的判定
首先有 Cauchy 收敛准则
任意项级数收敛性的判定
绝对收敛与条件收敛
类似反常积分中的收敛性，此处也有绝对收敛和条件收敛的区分。
Abel 变换
有两数列 \(a_n\) 和 \(b_n\) ，且有 \(b_n\) 的部分和数列 \(B_n\) ，则有 Abel 变换:
\[\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = a_n B_n - \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) B_k\]证明不难。
Abel-Dirichlet 判别法
首先，由 Abel 变换，有引理：
Abel 引理
数列 \(a_n\) 与 \(b_n\) 以及对应部分和满足：
- \(a_n\) 单调
- \(b_n\) 的部分和 \(B_n\) 有界 \(M\)
则有：
\[\left|\sum_{k=1}^n a_n b_n\right| \le M (|a_1| + 2|a_n|)\]
Proof
由 Abel 变换，有：
\[\begin{align*} \left|\sum_{k=1}^{n} a_n b_n\right| &= \left|a_n B_n - \sum{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a{k}) B_k\right| \\ &\le \left|a_n B_n\right| + M \left|\sum{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a{k}) \right| \\ &\le M\cdot |a_n| + M \cdot |a_n - a_1| \\ &\le M \cdot (a_1 + 2|a_n|) \end{align*}\]这个引理使得我们可以方便地估计一个级数 \(\sum a_n b_n\) 的行为。从而可以给出以下两个定理：
A-D 判别法
对于一个任意项级数 \(\sum_{k=0}^n a_kb_k\) ，若满足：
- （ Abel 判别法） 若 \(\sum a_k\) 收敛且 \(b_n\) 单调有界。
- （ Dirichlet 判别法） 若 \(\sum a_k\) 有界且 \(b_n\) 单调趋于0。
中的一个，则级数收敛。
Proof
首先证明 Dirichlet 判别法。
记 \(|\sum a_k| \le M\) ，此时有：
\[\left|\sum_{k=n}^{p} a_k\right| = |A_p - A_{n-1}| \le 2M\]由 Abel 引理，有：
\[\left|\sum_{k=n}^{m} a_k b_k \right| \le 2M(|b_n| + 2|b_m|)\]由于 \(b_n\) 单调趋向于 \(0\) ，从而可令 \(|b_n| < \varepsilon\) ，从而有：
\[\left|\sum_{k=n}^{m} a_k b_k\right| \le 6M\varepsilon\]从而由 Cauchy 收敛准则收敛。
接着通过 Dirichlet 判别法证明 Abel 判别法。
\(b_n\) 单调有界，从而有 \(\lim_{n\to\infty} b_n = b\) 。此时令 \(b'_n = b_n - b\) ，则 \(b'_n\) 单调趋向于 \(0\) 。 另一方面， \(\sum a_k\) 收敛，从而必然有界，因此满足 Dirichlet 判别法的条件。从而有 \(\sum a_k (b_k - b)\) 收敛，从而有 \(\sum a_k b_k\) 收敛。
级数的运算
函数项级数
一致收敛
考虑函数项级数的收敛的 \(\varepsilon-N\) 定义，其中的 \(N\) 通常会与 \(x\) 的取值有关。如果能够取到一个只和 \(\varepsilon\) 有关而与 \(x\) 无关的 \(N\) ，则称此时为一致收敛。
这里给出几个判断函数列一致收敛的充要条件：
一致收敛的充要条件 1
函数列 \(S_n(x)\) 在 \(D\) 上点态收敛到 \(S(x)\) ，定义：
\[d(S_n, S) = \sup_{x\in D}\left|S_n(x) - S(x)\right|\]则： \(S_n\) 一致收敛的充要条件是：
\[\lim_{n\to\infty} d(S_n, S) = 0\]
以及一个类似的结论：
一致收敛的充要条件 2
对于任意一个数列 \(x_n \in D\) ，有：
\[\lim_{n\to\infty} (S_n(x_n) - S(x_n)) = 0\]
Weierstrass 判别法
也叫优级数判别法，这个名字来自于它的判定：
Weierstrass 判别法
若 \(\sum f_n(x)\) 满足：
\[\left|f_n(x)\right| < M_n\]其中 \(M_n\) 为一个常数列，则 \(\sum f_n(x)\) 绝对收敛且一致收敛。
函数项级数的 Abel-Dirichlet 判别法
Dini 定理
Dini 定理
设 \(u_n(x) \ge 0\) 在 \([a, b]\) 上连续，且点态收敛到连续函数 \(u(x)\) ，则一致收敛到 \(u(x)\) 。