浙江大学 2024 学年数学分析 II 期末考试回忆卷

总体不算太难，但是跟往年风格似乎不太一样。

试题

\[J = \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{(1+x^2)e^{\arctan x}}\text{d}x\]

求 \(y = \frac{1}{2} x^2\) 在 \([0,1]\) 上的弧长
已知函数 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上有连续的二阶导数， \(f(\pi) = 2\) ，且有 \(\int_0^\pi \left(f(x) + f''(x)\right)\sin x \text{d}x = 2025\) ，求 \(f(0)\)
求级数：

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} x^n\]

的和函数 \(S(x)\) ，并求反常积分

\[\int_{0}^{1} S(x) \text{d}x\]

求定义在 \([-2, 2]\) 上的周期为 \(4\) 的函数 \(f(x) = |x|\) 的 Fourier 级数，并求级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)

已知级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛，求证：级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-x}\) 在 \([0, +\infty)\) 上一致收敛。

已知幂级数：

\[S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} x^n\]

求证：

已知周期为 \(2\pi\) 的函数 \(f(x)\) 在 \([-\pi, \pi]\) 上 Riemann 可积，且有 \(b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\text{d}x\) ，求证：

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{n} = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) (\pi - x) \text{d}x\]

已知级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x}\) 在 \(x > 1\) 时有和函数 \(f(x)\) ，求证：

\[I = \int_{1}^{\infty} \frac{[t]}{t^{s+1}} \text{d}t\]

收敛。其中 \([t]\) 表示取整数部分。