Dirichlet 特征与 L 函数
Dirichlet 特征、L 函数与算术级数中的素数定理。
Dirichlet 特征
定义
Dirichlet 特征是有限 Abel 群特征的特例，更一般的理论参见 有限Abel群上的Fourier分析。特征的线性无关性由 Artin 引理 保证。
固定正整数 \(m\)。模 \(m\) 的 Dirichlet 特征是从 \((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\) 到 \(\mathbb{C}^\times\) 的群同态
\(\chi: (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times \to \mathbb{C}^\times, \quad \chi(ab) = \chi(a)\chi(b)\)
将其延拓为 \(\mathbb{Z} \to \mathbb{C}\) 上的函数：
\(\chi(n) = \begin{cases} \chi(n \bmod m) & (n,m)=1 \\ 0 & (n,m) > 1 \end{cases}\)
延拓后 \(\chi\) 对所有整数满足完全乘性：\(\chi(ab) = \chi(a)\chi(b)\)。
基本性质
- \(\chi\) 的取值落在单位圆上（有限群的元素阶有限，故 \(\chi(a)\) 是单位根）。
- 主特征 \(\chi_0\)：\(\chi_0(a) = 1\) 对所有 \((a,m)=1\)。
诱导特征与本原特征
若 \(d \mid m\)，存在自然投射 \((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times \to (\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^\times\)。将模 \(d\) 的特征复合此投射得到的特征称为诱导特征。
若 \(\chi\) 不能由任何真因子 \(d \mid m\)（\(d < m\)）诱导，则称 \(\chi\) 为本原的（primitive）。
Dirichlet L 函数
定义
给定模 \(m\) 的 Dirichlet 特征 \(\chi\)，定义
\(L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s}\)
三大核心性质
性质 1：欧拉乘积（\(\Re(s) > 1\)）
\(L(s, \chi) = \prod_{p} \frac{1}{1 - \chi(p)p^{-s}}\)
证明与 ζ 函数的欧拉乘积完全类似，利用 \(\chi\) 的完全乘性。
性质 2：解析延拓
- 若 \(\chi = \chi_0\)（主特征），\(L(s, \chi_0)\) 与 ζ 函数只差有限个欧拉因子：\(L(s, \chi_0) = \zeta(s) \prod_{p \mid m} (1 - p^{-s})\)，在 \(s=1\) 处有简单极点。
- 若 \(\chi \neq \chi_0\)，\(L(s, \chi)\) 在 \(s=1\) 处解析（整个复平面上解析）。
性质 3：函数方程
完备 L 函数 \(\Lambda(s, \chi)\) 满足
\(\Lambda(s, \chi) = \epsilon(\chi) \cdot \Lambda(1-s, \bar{\chi})\)
其中 \(\epsilon(\chi)\) 是绝对值为 1 的常数。
完备 L 函数
特征的奇偶性
\(\chi(-1) \in \{1, -1\}\)。定义
\(\varepsilon_\chi = \begin{cases} 0 & \chi(-1) = 1 \text{（偶特征）} \\ 1 & \chi(-1) = -1 \text{（奇特征）} \end{cases}\)
完备化
\(\Lambda(s, \chi) = \left(\frac{m}{\pi}\right)^{(s+\varepsilon_\chi)/2} \Gamma\!\left(\frac{s + \varepsilon_\chi}{2}\right) L(s, \chi)\)
- 偶特征：\(\Gamma(s/2)\)（与 ζ 函数情形相同）。
- 奇特征：\(\Gamma((s+1)/2)\)。
θ 函数的变换公式
带 Dirichlet 特征的 θ 函数
\(\theta_\chi(\tau) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \chi(n)\, e^{\pi i n^2 \tau / m}\)
\(\chi\) 的出现破坏了普通 θ 函数的对称性。为恢复对称性，按 mod \(m\) 的余数对 \(n\) 分类，引入更基本的单元
\(\Theta_\varepsilon(a, b; \tau) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} (a+k)^\varepsilon\, e^{\pi i (a+k)^2 \tau + 2\pi i b(a+k)}\)
基本变换公式
\(\Theta_\varepsilon(a, b; -1/\tau) = \text{const} \cdot \tau^{1/2+\varepsilon} \cdot e^{2\pi i ab} \cdot \Theta_\varepsilon(-b, a; \tau)\)
通过 Poisson 求和公式和高斯积分证明。
θ 函数的变换公式
\(\theta_\chi(i/y) = C(\chi) \cdot y^{1/2+\varepsilon_\chi} \cdot \theta_{\bar{\chi}}(iy)\)
常数 \(C(\chi)\) 涉及高斯和 \(\tau(\chi)\)。
高斯和
定义
对模 \(m\) 的本原 Dirichlet 特征 \(\chi\)，
\(\tau(\chi) = \sum_{a=0}^{m-1} \chi(a)\, e^{2\pi i a/m}\)
关键性质
\(|\tau(\chi)| = \sqrt{m}\)
\(\tau(\chi)\) 起到联系 \(\chi\) 与其复共轭 \(\bar{\chi}\) 的桥梁作用。在变换公式和函数方程中，\(\tau(\chi)\) 出现在根数 \(\epsilon(\chi)\) 中。
关于 Gauss 和的更多讨论，参见 Jacobi和与Gauss和与二次剩余 和 有限Abel群上的Fourier分析。
L 函数的解析延拓与函数方程
解析延拓
证明思路：
- 将 \(\Lambda(s, \chi)\) 写成 \(\theta_\chi\) 的积分表示。
- 拆分为 \((0,1)\) 和 \((1,\infty)\)。
- \((1,\infty)\) 部分对所有 \(s\) 绝对收敛（指数衰减）。
- \((0,1)\) 部分做变量替换 \(y \mapsto 1/y\)，利用 \(\theta_\chi\) 的变换公式。
函数方程
\(\Lambda(s, \chi) = \epsilon(\chi) \cdot \Lambda(1-s, \bar{\chi})\)
在积分表达式中将 \(s\) 换为 \(1-s\)，利用变换公式的对称性即得。证明方法与 ζ 函数 完全平行。
非本原特征的情形
若 \(\chi\) 由模 \(d\) 的本原特征 \(\chi_1\) 诱导，则
\(L(s, \chi) = L(s, \chi_1) \cdot \prod_{\substack{p \mid m \\ p \nmid d}} \frac{1}{1 - \chi_1(p)p^{-s}}\)
差别仅是有限乘积的解析函数。
\(L(1, \chi) \neq 0\)
这是证明 Dirichlet 密度定理最核心的输入。
复特征情形
反证法：假设复特征 \(\chi\)（\(\chi \neq \bar{\chi}\)）满足 \(L(1, \chi) = 0\)。则 \(L(1, \bar{\chi}) = \overline{L(1, \chi)} = 0\)。
考虑乘积 \(\prod_\chi L(s, \chi)\)，其 Dirichlet 级数系数 \(a_n\) 非负。\(L(s, \chi_0)\) 在 \(s=1\) 有简单极点（发散到 \(+\infty\)），但 \(\chi\) 和 \(\bar{\chi}\) 的零点消去了极点。因此乘积在 \(s=1\) 处有界。
然而 \(a_n \geq 0\) 且某些 \(a_n > 0\)，乘积不可能在 \(s \to 1^+\) 时趋向零，矛盾。
实特征情形
设 \(\chi\) 为实特征（\(\chi = \bar{\chi}\)，即二次特征），考虑辅助函数
\(f(s) = \zeta(s) \cdot L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}\)
其中 \(a_n = (1 * \chi)(n) = \sum_{d \mid n} \chi(d)\)。
系数非负：对 \(n = p^k\)，
- \(\chi(p) = 1 \Rightarrow a_{p^k} = k+1 \geq 1\)
- \(\chi(p) = -1 \Rightarrow a_{p^k} \in \{0, 1\}\)
- \(\chi(p) = 0 \Rightarrow a_{p^k} = 1\)
由乘性知所有 \(a_n \geq 0\)。
导出矛盾：若 \(L(1, \chi) = 0\)，则 \(f(s)\) 是整函数。\(f(2) = \sum a_n/n^2 > 0\)。在 \(s = 2\) 处 Taylor 展开并利用系数非负性，可以导出矛盾。
Dirichlet 密度定理
定理：设 \((a,m)=1\)，则 \(\{p : p \equiv a \pmod{m}\}\) 的 Dirichlet 密度为 \(1/\varphi(m)\)。
证明路线
第一步：利用特征的正交性提取同余类
\(\frac{1}{\varphi(m)} \sum_\chi \bar{\chi}(a) \chi(p) = \begin{cases} 1 & p \equiv a \pmod{m} \\ 0 & \text{否则} \end{cases}\)
因此
\(\sum_{\substack{p \text{ 素数} \\ p \equiv a \pmod{m}}} \frac{1}{p^s} = \frac{1}{\varphi(m)} \sum_\chi \bar{\chi}(a) \sum_p \frac{\chi(p)}{p^s}\)
第二步：利用对数导数
\(-\frac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)} = \sum_p \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\chi(p)^k \log p}{p^{ks}}\)
第三步：取极限 \(s \to 1^+\)：
- \(\chi = \chi_0\)：\(-L'(s,\chi_0)/L(s,\chi_0)\) 发散（极点贡献），主要项为 \(1/(s-1)\)。
- \(\chi \neq \chi_0\)：\(L(1,\chi) \neq 0\) 保证 \(-L'(s,\chi)/L(s,\chi)\) 在 \(s=1\) 附近有界。
只有主特征的贡献发散，除以 \(-\log(s-1)\) 后其他特征的贡献消失，最终得到密度 \(1/\varphi(m)\)。
自然密度与 Dirichlet 密度
自然密度：\(d(S) = \lim_{x \to \infty} \frac{|\{p \leq x : p \in S\}|}{|\{p \leq x : p \text{ 素数}\}|}\)。
自然密度存在 \(\Rightarrow\) Dirichlet 密度存在且相等。反之不成立。
例子（Benford 定律）：\(\{p : p \text{ 的十进制首位为 } 1\}\) 的 Dirichlet 密度和自然密度都为 \(\log_{10} 2 \approx 0.301\)。