域

在环中提到过，域即是交换可除环。对于这样的代数结构，它会有一些更强也更复杂的性质。

域的同态

域本身就是一个环，因此环的相关工具都可以用在域上。自然地，我们想要考虑环的同态在域上有什么性质。

考虑同态 \(f:F\to A\) 是一个域到环的非零同态，则可以证明它是单的。这是因为 \(\mathrm{Ker} f\) 必须是 \(F\) 的一个真理想，但是 \(F\) 是域，从而只能为 \(0\) 。

分式域

域是一个特殊的环。考虑有理数域 \(\mathbb{Q}\) 的构造过程：我们首先是有最自然的整数环，然后我们通过除法将整数环 \(\mathbb{Z}\) 扩张成了有理数域 \(\mathbb{Q}\) 。这启发我们通过一个环 \(R\) 构造域。

具体地，考虑环 \(R \times R\) ，这是环和自己的直积。定义一个等价关系：\((a_{1},b_{1}) = (a_{2}, b_{2}) \Leftrightarrow a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}\) 。事实上，这就是分式相等的定义。容易验证这是一个等价关系，从而环 \(R \times R\) 在这个等价关系下的所有等价类就可以构成一个新的环，并且可以证明这是一个域，这被称作分式域。

极大理想

对于环，我们考虑它和自己的直积，从而扩张得到分式域；自然地，我们也将考虑如何将环缩小，得到一个域。在环的理论中，商环是一个有特殊意义的结构，自然地，我们考虑在什么情况下商环会构成一个域。

首先定义极大理想：对于一个真理想 \(I\) ，若在它和 \(R\) 之间没有任何别的理想，则它被称作极大理想。对于极大理想，有如下定理：

::: important 极大理想的商环 设 \(I\) 为 \(R\) 的一个理想，则 \(R/I\) 为域当且仅当 \(I\) 极大。

Proof. TODO

::: 这里我们考虑特殊的环也就是整数环 \(\mathbb{Z}\) ，容易证明它的理想 \(n\mathbb{Z}\) 若是极大理想当且仅当 \(n\) 为一个素数，从而有 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 为一个域，这个域记作 \(F_p\) ，它包含 \(p\) 个元素。

域的特征与素域

考虑一个 \(\mathbb{Z}\) 到域 \(F\) 上的同态：

\[f:\mathbb{Z}\to F,\qquad n \mapsto n 1_{F}\]

于是 \(\mathrm{Ker}f=m\mathbb{Z}\) ，此处的 \(m\) 即为域 \(F\) 的特征。或者说，考虑域的加法群，则其幺元的阶 \(\text{ord}\) 即为域的特征。

此时，考虑 \(m=0\) 的情况，这个时候 \(\mathrm{Ker}f=\{0\}\) 从而 \(f\) 单，从而此时 \(\mathbb{Z}\) 可以视作是 \(F\) 的一个子环，或者更严谨的说， \(F\) 包含一个与 \(\mathbb{Z}\) 同构的子环。由于 \(F\) 是域，从而所有的 \(\frac{m}{n}\) 都属于 \(F\) ，于是有结论：任意特征为 \(0\) 的域 \(F\) 总有一个与 \(\mathbb{Q}\) 同构的子域，这个子域称作素域。

对于特征非零的情况，容易证明特征一定为素数。从而得到任何一个特征为 \(p\) 的域 \(F\) 包含一个同构于 \(F_{p}\) 子域。

以下给出两个关于域的特征的引理：

1. 设 \(p\) 为域 \(F\) 的特征，\(a\in F\) ，两个整数 \(m,n\) 满足 \(p|(m-n)\) ，则 \(ma=na\) 。特别地，若 \(p|n\) ，则 \(na = 0\) 。
2. 对于任意自然数 \(r\) ，\(p\) 为域 \(F\) 的特征，则 \((a+b)^{p^r} = a^{p^r} + b^{p^r}\) 。

引理 2 是数论中 Frobenius 自同态 和 二次互反律 Gauss 和证明 中 Freshman’s dream 的代数基础。

Artin 引理

这是一个比较重要的引理，在 Galois 理论中有重要的作用。

::: important Artin 引理 设 \(G\) 是一个群，\(F\) 是一个域，\(F^*\) 是 \(F\) 的乘法群。设 \(\chi_1, \chi_2, \ldots, \chi_n\) 是从 \(G\) 到 \(F^*\) 的 \(n\) 个两两不同的群同态。那么，这些特征标作为从 \(G\) 到 \(F\) 的函数是 \(F\)-线性无关的。

Proof. 考虑对 \(n\) 进行归纳

:::

素理想

设 \(A\) 为一个交换环，它的理想 \(P\) 被称为素理想，若满足 \(ab\in P \Leftrightarrow a,b\in P\) 。它有一些性质：

1. \(A\) 的任意一个理想 \(P\) 为素理想当且仅当 \(A/P\) 为整区
2. \(A\) 的任意极大理想为素理想

这个概念在主理想整区等地方会有应用。