延拓与比较定理
解的延拓定理与比较定理。
对于一个通过 Picard 迭代定理求得的微分方程的解，它的解的存在范围是被限制的，然而很多时候解可以延伸出去，于是自然地开始考虑解的延拓定理。
解的延拓定理
::: important 延拓定理 对于一个区域 \(G\) 上的连续函数 \(f(x,y)\) ，对于区域内任意一点 \((x_{0},y_{0})\) 有一条积分曲线 \(\Gamma\) ，则 \(\Gamma\) 在区域 \(G\) 内延伸到区域的边界。
::: 这里延伸到边界是指，对于 \(G\) 的任意紧子集 \(G_{1}\) 总有 \(\Gamma\) 延伸到 \(G_{1}\) 之外，即要么走到正无穷，要么爆破到无穷大。
对于一个解，我们称它是一个饱和解。
解的整体存在性
对于一个 \(R\) 上的连续函数 \(f(x,y)\)，且对 \(y\) 满足一致 Lipschitz 条件，则它的每一个饱和解存在区间都相同且为。注意这里要求一致 Lipschitz 连续。
比较定理
第一比较定理
在平面 \(G\) 上的两个连续函数 \(f(x,y)\) 和 \(F(x,y)\) 如果满足：
\[f(x,y) < F(x,y),\quad \forall (x,y) \in G\]且 \(\phi(x)\) 和 \(\Phi(x)\) 分别为 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x,y)\) 与 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = F(x,y)\) 在区间 \([x_{0}, b)\) 上满足同一个初始条件 \(y(x_{0})=y_{0}\) 的解，那么在 \(x \in (x_{0},b)\) 上有 \(\phi(x) < \Phi(x)\) 。
对于一个初值问题，如果存在两个不同的解 \(W(x)\) 和 \(Z(x)\) 使得对于初值问题的任意其它解在大于 \(x_{0}\) 的时候总有 \(W(x) \leq y(x) \leq Z(x)\) ，这两个解称作右行最大解和右行最小解。