奇解

奇解的判别法

\(p\)-判别法

对于微分方程 \(F(x,y,y')=0\) ，当某些点上方程 \(F(x,y,p)=0\) 关于 \(p\) 存在重根时，微分方程解的唯一性会被破坏。从而可以得到 \(p\)-判别法：

\[\begin{cases} F(x,y,p) = 0 \\ F_{p}(x,y,p) = 0 \end{cases}\]

这个方程的解曲线为可能的微分方程的奇解。注意这是必要而非充分条件。它可能不是原方程的解，即使是解也可能不是奇解。

\(C\)-判别法

这种方法要求首先求出通解。对于包络线即奇解上的每个点都存在一个与在该点相切的通解，从而可以从常数 \(C\) 的角度考虑。对于微分方程的通解 \(\Phi(x,y,C)=0\)，有：

\[\begin{cases} \Phi(x,y,C) = 0 \\ \frac{\partial \Phi}{\partial C} = 0 \end{cases}\]

从而可以得到 \(C\)-判别式曲线，这同样不充分。