线性空间与线性映射
线性变换的基本理论：不变子空间、特征值与最小多项式。
线性空间是高等代数中研究的最基本的对象之一，而线性映射与线性变换则与之密切相关。因此，我们将两者合并介绍。
线性空间
子空间的交与和
维数公式
若：线性空间 \(V\) 有两有限维子空间 \(V_1 , V_2\) ，则有：
\[\dim V_1 + \dim V_2 = \dim (V_1 + V_2) + \dim (V_1 \cap V_2)\]
Proof
TODO
直和与正交
直和的定义
对于线性空间 \(V\) 的子空间 \(V_1\) 和 \(V_2\) ，当 \(V_1 \cap V_2 = \left\{ \vec{\theta} \right\}\) 时，则称 \(V_1 + V_2\) 为直和，记为 \(V_1 \oplus V_2\) 。
由维数公式，自然地有推论：
当 \(V_1\) 与 \(V_2\) 均为有限维子空间时，直和 \(V_1 \oplus V_2\) 当且仅当 \(\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2\)
直和可以很好地刻画两个子空间之间的关系，但是我们仍然需要一些手段，从子空间的元素出发研究直和。从而给出结论：
设有 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间 \(V\) 和两个子空间 \(V_1, V_2\) ，以下条件等价：
- \(V_1 + V_2\) 为直和
- 若 \(\vec{\alpha_1} + \vec{\alpha_2} = \vec{\theta}\) ，则有 \(\vec{\alpha_1} = \vec{\alpha_2} = \vec{\theta}\)
- \(V_1 + V_2\) 中的向量可以唯一的分解为 \(\alpha + \beta\) ，其中 \(\alpha \in V_1,\ \beta\in V_2\)
Proof
TODO
以及另一个关于直和的重要结论：
直和补的存在性
对于任意一个有限维线性空间 \(U\) 以及它的一个子空间 \(V\) ，存在唯一的子空间 \(W\) 使得：
\[U = V \oplus W\]成立。此时，称 \(W\) 为 \(V\) 的直和补。
很容易注意到，直和与直和补实际上是想描述一个线性空间的分解和合成，而这样的分解不一定是两个子空间的和，因此可以扩展到 \(n\) 个子空间的直和，同时也有类似的理论。
进一步地，对于内积空间，我们有正交和的概念。
线性映射
线性映射与线性变换
首先给出线性映射的定义：
线性映射
设 \(\mathbb{F}\) 上的两个线性空间 \(V\) 和 \(W\) ， \(\varphi : V \rightarrow W\) 为 \(V\) 到 \(W\) 的映射，且满足：
\[\varphi(k\vec{\alpha} + l\vec{\beta}) = k\varphi(\vec{\alpha}) + l\varphi(\vec{\beta})\]则称 \(\varphi\) 为线性映射，记作 \(\varphi\in \mathrm{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W)\) 。
特别地，若 \(V = W\) ，则称其为线性变换，记作 \(\mathrm{End}_{\mathbb{F}}(V)\) 。
容易证明， \(\mathrm{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W)\) 为 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间。此外，可以定义线性映射之间的乘法为线性映射的复合。
接下来，由于线性映射 \(\varphi\) 为一个映射，自然就存在一些情况下这个线性映射为双射。此时，我们说 \(\varphi\) 为同构映射：
同构
设 \(\varphi : V \rightarrow W\) 为一个线性映射，且为双射，则称其为线性空间 \(V\) 到 \(W\) 的同构映射，且称 \(V\) 和 \(W\) 关于 \(\varphi\) 同构，记作：
\[V \stackrel{\varphi}{\cong} W\]有时候我们并不能给出一个具体的同构映射，这个时候我们会省略 \(\varphi\) ，记作 \(V\cong W\) 。
在后文，我们将使用花体字母 \(\mathcal{A}\) 来表示一个线性映射。
线性映射的直和
线性空间上的直和给出了关于线性空间的分解，而线性映射的直和则给出了关于线性映射的分解。
线性映射的直和
考虑两个线性空间 \(V_1\) 和 \(V_2\) ，以及它们之间的线性映射 \(\mathcal{A}_1 \in \mathrm{Hom}_{\mathbb{F}}(V_1, W)\) 与 \(\mathcal{A}_2 \in \mathrm{Hom}_{\mathbb{F}}(V_2, W)\) ，则可以定义它们的直和为：
\[\mathcal{A}_1 \oplus \mathcal{A}_2 \in \mathrm{Hom}_{\mathbb{F}}(V_1 \oplus V_2, W)\]且：
\[(\mathcal{A}_1 \oplus \mathcal{A}_2)(\vec{\alpha}_1 + \vec{\alpha}_2) = \mathcal{A}_1(\vec{\alpha}_1) + \mathcal{A}_2(\vec{\alpha}_2)\]
这给出了将几个互相交集为 \(\left\{\vec{\theta}\right\}\) 的线性映射组合成一个新的线性映射的方式。
线性映射的矩阵
在这里，我们只考虑有限维线性空间上的线性映射。
首先考虑线性变换 \(\mathcal{A}\in \mathrm{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W)\) ，且有 \(V\) 的一组基 \(\left\{\vec{\alpha}_i\right\}\) 与 \(\left\{\vec{\beta}_i\right\}\) ，则有：
\[\mathcal{A}(V) = \mathrm{Span}(\mathcal{A}(\vec{\alpha}_1), \mathcal{A}(\vec{\alpha}_2), \ldots, \mathcal{A}(\vec{\alpha}_n))\]又由于 \(\mathcal{A}(\alpha_i) \in W\) ，从而有：
\[\begin{align*} \begin{cases} \mathcal{A}(\vec{\alpha_1}) &= a_{11}\vec{\beta_1} + a_{12}\vec{\beta_2} + \cdots + a_{1m}\vec{\beta_m} \\ \mathcal{A}(\vec{\alpha_2}) &= a_{21}\vec{\beta_1} + a_{22}\vec{\beta_2} + \cdots + a_{2m}\vec{\beta_m} \\ &\vdots \\ \mathcal{A}(\vec{\alpha_n}) &= a_{n1}\vec{\beta_1} + a_{n2}\vec{\beta_2} + \cdots + a_{nm}\vec{\beta_m} \end{cases} \end{align*}\]从而可以给出线性变换 \(\mathcal{A}\) 的矩阵表示：
\[\mathrm{A} = \left[\mathcal{A}\right]_{\left\{\alpha_i\right\}}^{\left\{\beta_j\right\}} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} \end{pmatrix}\]有时也会写作：
\[\mathcal{A}(\vec{\alpha}_1, \vec{\alpha}_2, \ldots, \vec{\alpha}_n) = \left(\vec{\beta}_1, \vec{\beta}_2, \ldots, \vec{\beta}_m\right) \mathrm{A}\]通常称 \(\mathrm{A}\) 为 \(\mathcal{A}\) 关于 \(\left\{\vec{\alpha}_i\right\}\) 与 \(\left\{\vec{\beta}_j\right\}\) 的矩阵表示。
容易证明，当 \(\dim(V) = n\) 且 \(\dim(W) = m\) 时，可以构造 \(\mathrm{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W)\) 与 \(\mathbb{F}^{m \times n}\) 之间的同构映射：
\[\mathrm{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W) \cong \mathbb{F}^{m \times n}\]从而可以得到 \(\dim(\mathrm{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W)) = mn\)
通过这个同构映射，我们可以给出线性映射的运算与矩阵运算之间的关系。特别地，当 \(\mathcal{A}\) 为线性变换时，它的矩阵表示为一个方阵。
既然有了线性变换这个工具，那么我们自然想要考虑如何应用这个新的工具研究矩阵的性质。具体而言，我们考虑到，线性变换的矩阵是基于线性空间上的一个给定的基的，但是线性变换本身和取的基无关，因此我们自然地就想考虑：同一个线性变换，在不同基下矩阵的关系。于是，我们给出定理：
同一线性变换在不同基下的矩阵表示
设 \(\mathcal{A} \in \mathrm{End}_{\mathbb{F}}(V)\) 为线性变换，且 \(\left\{\vec{\alpha}_i\right\}\) 与 \(\left\{\vec{\beta}_j\right\}\) 分别为 \(V\) 的两组基，在两组基下的矩阵表示分别为 \(\mathrm{A}\) 和 \(\mathrm{B}\) ，则有：
\[\mathrm{B} = \mathrm{P}^{-1} \mathrm{A} \mathrm{P}\]其中 \(\mathrm{P}\) 为从 \(\left\{\vec{\alpha}_i\right\}\) 到 \(\left\{\vec{\beta}_j\right\}\) 的过渡矩阵。
Proof
TODO
基于这一点，我们可以说：线性变换所对应的矩阵在相似的意义下是唯一的，且这是充要条件。
线性变换的特征理论
特征值理论是研究矩阵时的一个核心理论。在前一节我们给出了线性变换与对应矩阵的关系，自然地，我们可以将特征值理论推广到线性变换上。
线性变换的特征值与特征向量
设 \(V\) 是数域 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间，且 \(\mathcal{A} \in \mathrm{End}_{\mathbb{F}}(V)\) 为线性变换，若存在非零向量 \(\vec{\alpha} \in V\) 以及数 \(\lambda \in \mathbb{F}\) 使得：
\[\mathcal{A}(\vec{\alpha}) = \lambda \vec{\alpha}\]则称 \(\lambda\) 为 \(\mathcal{A}\) 的特征值，\(\vec{\alpha}\) 为 \(\mathcal{A}\) 的特征向量。属于同一个特征值的所有特征向量构成*特征子空间，记作 \(V_{\lambda}\) 。
由于线性变换的矩阵在相似意义下是唯一的，因此线性变换的矩阵对应的特征多项式是唯一的，它被定义为特征多项式。
像集与核
在这里，我们将要研究两个线性代数中最为重要的概念：像集与核。
像集与核
设 \(\mathcal{A} \in \mathrm{End}_{\mathbb{F}}(V)\) 为线性变换，则 \(\mathcal{A}\) 的像集（Image）定义为：
\[\mathrm{Im}(\mathcal{A}) = \mathcal{A}(V) = \{\mathcal{A}(\vec{\alpha}) \mid \vec{\alpha} \in V\}\]而 \(\mathcal{A}\) 的核（Kernel）定义为：
\[\mathrm{Ker}(\mathcal{A}) = \{\vec{\alpha} \in V \mid \mathcal{A}(\vec{\alpha}) = \vec{\theta}\}\]
容易证明，\(\mathrm{Im}(\mathcal{A})\) 是 \(W\) 的子空间，而 \(\mathrm{Ker}(\mathcal{A})\) 是 \(V\) 的子空间。因此，它们也被称作像空间与核空间。
根据这一点，我们可以给出一些关于线性映射的结论：
对于一个线性映射 \(\mathcal{A}\) ，有：
- \(\mathcal{A}\) 是单射当且仅当 \(\mathrm{Ker}(\mathcal{A}) = \left\{\vec{\theta}\right\}\)
- \(\mathcal{A}\) 是满射当且仅当 \(\mathrm{Im}(\mathcal{A}) = W\)
我们在后面将会多次用到这个引理。
同构映射
在此前，我们讨论了线性映射，而在这里我们将会进一步讨论特殊的线性映射：同构。
TODO
像集与核的关系
首先定义线性变换的秩与零化度：
秩与零化度
设 \(\mathcal{A} \in \mathrm{End}_{\mathbb{F}}(V)\) 为线性变换，则 \(\mathcal{A}\) 的秩（Rank）定义为：
\[\mathrm{rank}(\mathcal{A}) = \dim(\mathrm{Im} (\mathcal{A})) = \dim(\mathcal{A}(V))\]而 \(\mathcal{A}\) 的零化度（Nullity）定义为：
\[\mathrm{nullity}(\mathcal{A}) = \dim(\mathrm{Ker }(\mathcal{A})) = \dim(\{\vec{\alpha} \in V \mid \mathcal{A}(\vec{\alpha}) = \vec{\theta}\})\]
容易注意到，线性变换的秩就是它在某一基下矩阵的秩。
这里，我们将会给出一个非常重要的定理：
秩-零化度定理
对于一个线性映射 \(\mathcal{A} \in \mathrm{End}_{\mathbb{F}}(V)\) ，有：
\[\mathrm{rank}(\mathcal{A}) + \mathrm{nullity}(\mathcal{A}) = \dim(V)\]且 \(\mathrm{Im}(\mathcal{A})\) 的任意一组基的一组原像与 \(\mathrm{Ker}(\mathcal{A})\) 的任意一组基合并成 \(V\) 的一组基。
Proof
TODO
积空间
积空间给出了将多个线性空间复合成一个新的线性空间的方式。
积空间
设 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 个线性空间 \(V_1, V_2, \ldots, V_n\) ，则它们的积空间（Product Space）定义为：
\[V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_n = \{(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n) \mid \vec{v}_i \in V_i\}\]其中 \(\vec{v}_i\) 为 \(V_i\) 中的向量。
有些地方也将这个称作笛卡尔积，也有些教材将其称为外直积。容易证明这是一个线性空间。
商空间
商空间是一个重要的概念，它给出了将一个线性空间的某些子空间的信息“剥离”掉的方式，从而可以使某些隐藏的结构显现出来。
首先给出定义：
商空间
设 \(V\) 是一个线性空间，且 \(W\) 是 \(V\) 的一个子空间，则 \(V\) 关于 \(W\) 的商空间（Quotient Space）定义为：
\[V / W = \{ \vec{v} + W \mid \vec{v} \in V \}\]其中 \(\vec{v} + W\) 表示 \(W\) 中所有与 \(\vec{v}\) 相加的向量构成的集合。
容易证明这是一个线性空间。
从而可以给出一个非常重要的定理：
同态基本定理 / 线性映射基本定理
设 \(\mathcal{A} \in \mathrm{End}_{\mathbb{F}}(V)\) 为线性变换，则有：
\[V / \mathrm{Ker}(\mathcal{A}) \cong \mathrm{Im}(\mathcal{A})\]
Proof
TODO