环
环与理想的基本理论。
定义
环中包括两种二元运算：\(+\) 和 \(\cdot\) ，满足：
- \(R\) 在 \(+\) 下构成 Abel 群
- \(\cdot\) 运算满足结合律
- \(\cdot\) 对 \(+\) 满足左分配律和右分配律
如果乘法同时还交换，则称其为交换环。任意非零元乘积非零的换称作整环，交换整环称作整区。存在逆元的环称作可除环或体，交换可除环称作域。
子环和子域
类似子群的定义，对于环的一个子集 \(S\) ，若满足环的定义，那么称作子环
理想
类似于正规子群的概念，在环中我们也需要类似的结构来构造商环。考虑 \(I\) 为 \(R\) 的一个加法子群，由于环的加法群是 Abel 群，从而显然为正规子群，于是商群 \(R/I\) 是有意义的。自然地，我们希望它在乘法下也是有自然的意义的。于是给出理想的定义：
::: note 理想 考虑环 \(R\) 的一个加法子群 \(I\) ，且 \(au, ua \in I\) 对于所有的 \(a\in R, u\in I\) 成立，则 \(I\) 称为 \(R\) 的一个双边理想。同理有左、右理想的定义。
::: 容易证明这样定义商环是有意义的。注意，非平凡的理想不含幺元 。
于是可以定义同余的概念：若 \(a, b\in I\) ，且有 \(a-b\in I\) ，则称 \(a, b\) 同余，记作 \(a \equiv b \quad (\text{mod}\ I)\) 。
考虑整数环 \(\mathbb{Z}\) ，则 \(n\mathbb{Z}\) 为其一个理想，考虑商环 \(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}\) ，则它是整区当且仅当 \(n\) 为素数，有时候将它记作 \(\mathbb{Z}_{n}\) 。事实上，这就是数论中同余类的定义。这个时候同余记号可以记作 \(a\equiv b\quad (\text{mod}\ n)\) 。
类似单群的概念，若一个非零环不是可除环，且除了平凡理想没有双边理想，则称其为单环。
理想的相关性质
- 设 \(\{I_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}\) 为环 \(R\) 的一组双边理想，则其交 \(\cap_{\lambda\in \Lambda} I_{\lambda}\) 也是双边理想
- 两个理想中元素的和构成的集合仍是双边理想
- 两个理想中任意两元素的乘积构成的集合仍是双边理想
对于两个理想 \(I, J\) 若满足 \(I+J=R\) 则称他们互素。事实上这和初等数论中的说法是相通的。
考虑 \(R\) 的子集 \(S\) ，令 \(\langle S\rangle\) 为 \(R\) 中所有包含 \(S\) 的理想的交，则称 \(\langle S \rangle\) 为 \(S\) 生成的理想。对于一个理想 \(I\) ，若有一个 \(R\) 的有限子集 \(S\) 使得 \(\langle S \rangle = I\) ，则称 \(I\) 为有限生成的理想。特别地，若 \(I\) 可以由一个元素生成，则它被称作主理想。这与群中有限生成群和循环群的定义是类似的。
若 \(S\) 为一个由 \(s_{1},\cdots,s_{n}\) 组成的有限集合，约定用 \((s_{1},\cdots,s_{n})\) 为 \(S\) 生成的理想。
环同态
对于两个环之间的映射 \(f\) ，若它保持环的加法和乘法不变，且幺元的像为幺元或零元，则称其为一个同态。注意，这里对于 \(f(1_{R_{1}}) \in \{1_{R_{2}}, 0\}\) 的限制不可以省略。事实上，考虑环 \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\)，它的幺元是 \((1,1)\) 。作映射 \(\varphi: a \mapsto (a,0)\) ，则它确实满足保持加法和乘法的条件，但是显然不是我们想要的同态，因此需要第三个条件作为限制。
若有 \(f(1) = 0\) ，则 \(f\) 会把一切元素映射到 \(0\) ，这样的同态称作零同态。