Jordan 标准形
线性变换的 Jordan 标准形：不变子空间、根子空间分解与 Jordan 块。
Jordan 标准形是线性代数中一个重要的概念，它为线性变换提供了一种标准化的表示形式。通过 Jordan 标准形，我们可以将一个线性变换简化为更易于分析和计算的形式。
不变子空间
首先，对于一个线性变换 \(\mathcal{A}\) ，我们可以给出不变子空间的定义：
不变子空间
对于一个数域 \(\mathbb{F}\) 上的线性变换 \(\mathcal{A}\)，如果存在一个非零子空间 \(V\) 使得对于任意 \(v \in V\)，都有 \(\mathcal{A}(v) \in V\)，则称 \(V\) 是 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间，也写作 \(\mathcal{A}\)-子空间。
从定义，我们可以给出几个简单的结论：
- 线性空间 \(V\) 本身和零空间 \(\{\vec{\theta}\}\) 都是 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间。
- \(\mathrm{Ker}(\mathcal{A})\) 是 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间。
- \(\mathrm{Im}(\mathcal{A})\) 是 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间。
- 如果 \(V_1\) 和 \(V_2\) 都是 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间，则它们的和 \(V_1 + V_2\) 与交 \(V_1 \cap V_2\) 也是 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间。
引入不变子空间后，我们可以考虑收缩线性变换的定义域了。对于一个线性变换 \(\mathcal{A}\) 和它的一个不变子空间 \(W\) ，我们定义：
\[\begin{align*} \mathcal{A}|_W: W &\to W \\ \vec{w} &\mapsto \mathcal{A}(\vec{w}) \end{align*}\]为线性变换 \(\mathcal{A}\) 在 \(W\) 上的限制。
利用不变子空间与线性变换的直和理论，我们可以给出将线性变换的对应矩阵化简为准对角阵的方法。
TODO
最后，我们介绍根子空间的概念。我们知道，对于一个线性变换 \(\mathcal{A}\) 以及它的一个特征值 \(\lambda\)，它的特征空间 \(V_{\lambda} = \mathrm{Ker}(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})\) 是 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间。我们同时也知道，对于一个特征值 \(\lambda\) ，它的代数重数 \(r\) 也是反映 \(\mathcal{A}\) 的一个参数，据此，我们可以给出根子空间的定义：
根子空间
数域 \(\mathbb{F}\) 上的线性变换 \(\mathcal{A}\) 有一代数重数为 \(r\) 的特征值 \(\lambda\) ，则对应的根子空间定义为：
\[\overline{V_{\lambda}} = \mathrm{Ker}((\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})^r)\]
以及一个关于根子空间的重要定理：
根子空间分解定理
设数域 \(\mathbb{F}\) 上线性空间 \(V\) 有线性变换 \(\mathcal{A}\) ，且 \(\mathcal{A}\) 的特征多项式 \(f(\lambda)\) 可以分解为若干个一次因式的乘积：
\[f(\lambda) = \prod_{i=1}^k (\lambda - \lambda_i)^{r_i}\]则有：
- 根子空间 \(\overline{V_{\lambda_i}} = f_i(\mathcal{A})(V) = \mathrm{Im}(f_i(\mathcal{A}))\)，其中 \(f_i(\lambda) = \frac{f(\lambda)}{(\lambda - \lambda_i)^{r_i}}\)。
- \(V = \bigoplus_{i=1}^k \overline{V_{\lambda_i}}\)
Proof
由于 \(f(x) = (x - \lambda_i)^{r_i} f_i(x)\) ，由 Hamilton-Cayley 定理，有：
\[\mathcal{O} = f(\mathcal{A}) = (\mathcal{A} - \lambda_i \mathcal{I})^{r_i} f_i(\mathcal{A})\]从而得到：
\[(\mathcal{A} - \lambda_i \mathcal{I})^{r_i} f_i(\mathcal{A})(V) = \mathcal{O}(V) = \{\vec{\theta}\} \Rightarrow f_i(\mathcal{A})(V) \subseteq \overline{V_{\lambda_i}}\]另一方面，有：\(\left((x-\lambda_i)^{r_i}, f_i(x)\right) = 1\) ，从而由 Bezout 定理，存在多项式 \(u(x), v(x) \in \mathbb{F}[x]\) 使得：
\[u(\mathcal{A}) (\mathcal{A} - \lambda_i\mathcal{I})^{r_i}(\overline{V_{\lambda_i}}) + v(\mathcal{A}) f_i(\mathcal{A})(\overline{V_{\lambda_i}}) = \mathcal{I}\cdot\overline{V_{\lambda_i}} = \overline{V_{\lambda_i}}\]又因为 \(\overline{V_{\lambda_i}} = \mathrm{Ker}((\mathcal{A} - \lambda_i \mathcal{I})^{r_i})\)，所以有：
\[\overline{V_{\lambda_i}} = v(\mathcal{A}) f_i(\mathcal{A})(\overline{V_{\lambda_i}}) = f_i(\mathcal{A})(v(\mathcal{A})(\overline{V_{\lambda_i}})) \subseteq f_i(\mathcal{A})(V)\]从而得到：
\[\boxed{ \overline{V_{\lambda_i}} = f_i(\mathcal{A})(V) }\]用类似的手法，可以得到：存在一列多项式 \(u_1(x) \cdots u_k(x)\) 使得：
\[\sum_{i=1}^k u_i(\mathcal{A}) f_i(\mathcal{A}) = \mathcal{I}\]从而有：
\[\begin{align*} V &= \mathcal{I}(V) \\ &= \sum_{i=1}^k u_i(\mathcal{A}) f_i(\mathcal{A})(V) \\ &= \sum_{i=1}^k f_i(\mathcal{A})\left[u_i(\mathcal{A})(V)\right] \\ &\subseteq \sum_{i=1}^k f_i(\mathcal{A})(V) \\ &= \sum_{i=1}^k \overline{V_{\lambda_i}} \end{align*}\]再证明对于一切 \(\vec{\beta}_i \in \overline{V_{\lambda_i}}\)，若 \(\sum_{i=1}^k \vec{\beta}_i = \vec{\theta}\)，则 \(\vec{\beta}_i = \vec{\theta}\) 。
容易注意到： \(\forall i \ne j,\ f_i(\mathcal{A})(\vec{\beta_i})) = \vec{\theta}\) 。从而在 \(\sum_{i=1}^k \vec{\beta_i} = \vec{\theta}\) 两边作用 \(f_i(\mathcal{A})\) 可以得到：
\[f_i(\mathcal{A})(\vec{\beta_i}) = \vec{\theta}\]又由于前面得到的多项式 \(u(x)\) 和 \(v(x)\) 满足：
\[u(\mathcal{A}) (\mathcal{A} - \lambda_i\mathcal{I})^{r_i} + v(\mathcal{A}) f_i(\mathcal{A}) = \mathcal{I}\]得：
\[\boxed{ \vec{\beta_i} = \mathcal{I} \cdot \vec{\beta_i} = u(\mathcal{A}) (\mathcal{A} - \lambda_i\mathcal{I})^{r_i}(\vec{\beta_i}) + v(\mathcal{A}) f_i(\mathcal{A})(\vec{\beta_i}) = \vec{\theta} + \vec{\theta} = \vec{\theta} }\]从而这是一个直和分解。
在我们的证明中，我们多次使用了多项式的 Bezout 定理，从而推出一个恒等变换与一个或几个我们正在研究的线性变换之间的关系，这是一个非常有用的技巧，我们将在接下来多次使用这样的技巧。
Jordan 标准形的定义
Jordan 标准形是线性代数中一个重要的概念，它为线性变换提供了一种标准化的表示形式。通过 Jordan 标准形，我们可以将一个线性变换简化为更易于分析和计算的形式。
首先定义 Jordan 块为：
Jordan 块
数域 \(\mathbb{F}\) 上的线性变换 \(\mathcal{A}\) 的一个Jordan 块是一个 \(n \times n\) 的矩阵 \(J_n(\lambda)\)，满足：
\[J_n(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & \lambda & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix}\]其中 \(\lambda \in \mathbb{F}\) 是一个标量。
在有些文献中， Jordan 块也会写作上三角矩阵的形式。两者没有本质性的区别。
接下来，我们定义 Jordan 标准形为：
Jordan 标准形
数域 \(\mathbb{F}\) 上的线性变换 \(\mathcal{A}\) 的Jordan 标准形是一个块对角矩阵，满足：
\[J(\mathcal{A}) = \begin{pmatrix} J_{n_1}(\lambda_1) & & & \\ & J_{n_2}(\lambda_2) & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_{n_k}(\lambda_k) \end{pmatrix}\]其中每个 \(J_{n_i}(\lambda_i)\) 都是一个 Jordan 块，且 \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k\) 是 \(\mathcal{A}\) 的特征值，\(n_1, n_2, \ldots, n_k\) 分别是对应的 Jordan 块的大小。
我们将在此后看到 Jordan 标准形与线性变换的特征值、特征向量以及不变子空间之间的关系。
Jordan 标准形的存在性
首先，我们定义幂零变换为：
幂零变换
数域 \(\mathbb{F}\) 上的线性变换 \(\mathcal{A}\) 是幂零变换，如果存在一个正整数 \(n\) 使得 \(\mathcal{A}^n = \mathcal{O}\)。
容易注意到，幂零变换的特征值只能是 \(0\)，因此它的特征多项式可以写成：
\[f(\lambda) = \lambda^r\]接着，我们引入记号 \(S_{n}\) 表示这样的一个矩阵，满足：
\[S_n = (s_{ij}) = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j + 1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{pmatrix}_{n \times n}\]以及对应的线性变换 \(\mathcal{S}_n\) 。容易证明，这样的一个线性变换是幂零的。这样的一个矩阵有时会被称作下移矩阵（ Lower Shift Matrix ），同样的可以定义上移矩阵（ Upper Shift Matrix ）。
接下来，我们要给出一个重要的引理，它给出了一种特殊的基，有时被称作循环基：
循环基引理
设 \(\mathcal{B}\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的一个幂零线性变换，满足 \(\mathcal{B}^k = \mathcal{O}\) ，其中 \(n>0\) ，那么存在 \(V\) 的一组如下形式的基：
\[\begin{array}{ccccc} \vec{\alpha_1}, &\vec{\alpha_2}, &\cdots, &\vec{\alpha_{t}} \\ \mathcal{B}\vec{\alpha_1}, &\mathcal{B}\vec{\alpha_2}, &\cdots, &\mathcal{B}\vec{\alpha_{t}} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ \mathcal{B}^{k_1-1}\vec{\alpha_1}, &\mathcal{B}^{k_2-1}\vec{\alpha_2}, &\cdots, &\mathcal{B}^{k_t-1}\vec{\alpha_{t}} \end{array}\]满足：
\[\forall i,\ \mathcal{B}^{k_i} \vec{\alpha_i} = \vec{\theta}\]（注意这里的 \(k_i\) 并不是唯一的，而是与 \(\alpha_i\) 的选择有关）
且有： \(\mathcal{B}\) 在这样一组基的表示下的矩阵为：
\[B = \begin{pmatrix} S_{k_1} & & & \\ & S_{k_2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & S_{k_t} \\ \end{pmatrix}_{n \times n}\]
Proof
考虑对维数做归纳法。
当 \(n=1\) 时，设 \(V = \mathrm{Span}(\vec{\alpha_1})\) ，则存在 \(\lambda_1\) 使得 \(\mathcal{B}(\vec{\alpha_1}) = \lambda_1 \vec{\alpha_1}\)，从而 \(\mathcal{B}^k(\vec{\alpha_1}) = \lambda_1^k \vec{\alpha_1} = \vec{\theta}\) ，从而 \(\lambda_1 = 0\) ，从而在 \(\vec{\alpha_1}\) 的基下，\(\mathcal{B}\) 的矩阵为 \(0\) 矩阵。
下一步考虑归纳。假设 \(\dim V < n\) 时成立，考虑 \(\dim V = n\) 时的情况。
显然，若 \(\dim \mathrm{Im} \mathcal{B} = n\) ，则有 \(\mathcal{B}V = V\) ，从而 \(\mathcal{B}^k V = V = \left\{\vec{\theta}\right\}\) ，与 \(\dim V > 0\) 矛盾。从而有 \(\dim \mathrm{Im} \mathcal{B} < n\) ，从而可以构造 \(\mathrm{Im} \mathcal{B} = \mathcal{B}V\) 的一组循环基：
\[\begin{array}{ccccc} \vec{\varepsilon_1}, &\vec{\varepsilon_2}, &\cdots, &\vec{\varepsilon_{t}} \\ \mathcal{B}\vec{\varepsilon_1}, &\mathcal{B}\vec{\varepsilon_2}, &\cdots, &\mathcal{B}\vec{\varepsilon_{t}} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ \mathcal{B}^{k_1-1}\vec{\varepsilon_1}, &\mathcal{B}^{k_2-1}\vec{\varepsilon_2}, &\cdots, &\mathcal{B}^{k_t-1}\vec{\varepsilon_{t}} \end{array}\]接下来，我们的思路就是，将这组循环基转换为 \(V\) 的一组循环基。由于这是 \(\mathrm{Im}(B)\) 的一组基，因此我们自然地想考虑 \(\mathrm{Ker}(B)\) 的基，因为根据秩-零化度定理，这两组基并在一起就是 \(V\) 的一组基。
首先，由于 \(\vec{\varepsilon_i} \in \mathrm{Im}(\mathcal{B})\) ，从而存在原像 \(\vec{\alpha_i} \in V\) 。从而可以得到一组原像集：
\[\begin{array}{ccccc} \vec{\alpha_1}, &\vec{\alpha_2}, &\cdots, &\vec{\alpha_{t}} \\ \mathcal{B}\vec{\alpha_1}, &\mathcal{B}\vec{\alpha_2}, &\cdots, &\mathcal{B}\vec{\alpha_{t}} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ \mathcal{B}^{k_1-1}\vec{\alpha_1}, &\mathcal{B}^{k_2-1}\vec{\alpha_2}, &\cdots, &\mathcal{B}^{k_t-1}\vec{\alpha_{t}} \end{array}\]以及 \(\mathrm{Ker}(\mathcal{B})\) 中的一组线性无关的向量：
\[\mathcal{B}^{k_1}\vec{\alpha_1}, \mathcal{B}^{k_2}\vec{\alpha_2}, \cdots, \mathcal{B}^{k_t}\vec{\alpha_{t}}\]从而可以将这一组向量扩充为 \(\mathrm{Ker}(\mathcal{B})\) 的一组基：
\[\mathcal{B}^{k_1}\vec{\alpha_1}, \mathcal{B}^{k_2}\vec{\alpha_2}, \cdots, \mathcal{B}^{k_t}\vec{\alpha_{t}}, \vec{\alpha_{t+1}}, \cdots, \vec{\alpha_{s}}\]这里的 \(s \ge t\) ，二者可能相等。
由于 \(\vec{\alpha_{t+1}} \cdots \vec{\alpha_s} \in \mathrm{Ker}(\mathcal{B})\)，因此可以将对应的 \(k_{t+1} \cdots k_s\) 取为 \(1\)，从而得到一组新的循环基：
\[\begin{array}{ccccc} \vec{\alpha_1}, &\vec{\alpha_2}, &\cdots, &\vec{\alpha_{t}}, &\vec{\alpha_{t+1}}, &\cdots, &\vec{\alpha_{s}} \\ \mathcal{B}\vec{\alpha_1}, &\mathcal{B}\vec{\alpha_2}, &\cdots, &\mathcal{B}\vec{\alpha_{t}} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ \mathcal{B}^{k_1-1}\vec{\alpha_1}, &\mathcal{B}^{k_2-1}\vec{\alpha_2}, &\cdots, &\mathcal{B}^{k_t-1}\vec{\alpha_{t}} \\ \mathcal{B}^{k_1}\vec{\alpha_{t+1}}, &\mathcal{B}^{k_t}\vec{\alpha_{t+2}}, &\cdots, &\mathcal{B}^{k_t}\vec{\alpha_{s}} \end{array}\]且将 \(\mathcal{B}\) 作用到这组基上可以得到：
\[\begin{array}{ccccc} \mathcal{B}\vec{\alpha_1}, &\mathcal{B}\vec{\alpha_2}, &\cdots, &\mathcal{B}\vec{\alpha_{t}}, &\vec{\theta}, &\cdots, &\vec{\theta} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ \mathcal{B}^{k_1}\vec{\alpha_1}, &\mathcal{B}^{k_2}\vec{\alpha_2}, &\cdots, &\mathcal{B}^{k_t}\vec{\alpha_{t}} \\ \vec{\theta}, &\vec{\theta}, &\cdots, &\vec{\theta} \end{array}\]从而 \(\mathcal{B}\) 在这组基下的矩阵为：
\[B = \begin{pmatrix} S_{k_1} & & & \\ & S_{k_2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & S_{k_t} \\ & & & & 0 & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 0 \end{pmatrix}\]从而得证。
这个引理非常重要，它不仅可以简单地推导出 Jordan 标准形的存在性，同时也给出了一种计算 Jordan 标准形的方法。
Jordan 标准形的存在性
设 \(\mathcal{A}\) 为 \(\mathbb{C}\) 上线性空间 \(V\) 上的一个线性变换，则在 \(V\) 中必然存在一组基，使得 \(\mathcal{A}\) 在这组基下的矩阵为 Jordan 标准形矩阵。等价地，任意一个 \(n\) 阶复矩阵 \(A\) 均与一个 Jordan 形矩阵相似。
Proof
首先，由根子空间分解定理，有：
\[V = \bigoplus_{i=1}^k \overline{V_{\lambda_i}}\]其中 \(\lambda_i\) 为 \(\mathcal{A}\) 的特征值，对应重数为 \(r_i\) 。自然地，我们想把每个根子空间分开考虑，然后合并为一个完整的矩阵。
考虑一个线性变换 \(\mathcal{B}_i = (\mathcal{A} - \lambda_i \mathcal{I})|_{\overline{V_{\lambda_i}}} = \mathcal{A}_i|_{\overline{V_{\lambda_i}}} - \lambda_i \mathcal{I}_i|_{\overline{V_{\lambda_i}}}\) ，显然它是一个幂零变换。根据循环基引理，存在一组 \(\overline{V_{\lambda_i}}\) 的基，使得其矩阵为：
\[B_i = \begin{pmatrix} S_{k_{i1}} & & & \\ & S_{k_{i2}} & & \\ & & \ddots & \\ & & & S_{k_{it}} \\ \end{pmatrix}\]的形式。
而另一方面， \(\lambda_i \mathcal{I}|_{\overline{V_{\lambda_i}}}\) 的矩阵为：
\[\begin{pmatrix} \lambda_i & & & \\ & \lambda_i & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_i \\ \end{pmatrix}\]从而 \(\mathcal{A}|_{\overline{V_{\lambda_i}}}\) 的矩阵为：
\[\begin{align*} J_i = B_i + \lambda_i E_{p_i} &= \begin{pmatrix} S_{k_{i1}} + \lambda_i E & & & \\ & S_{k_{i2}} + \lambda_i E & & \\ & & \ddots & \\ & & & S_{k_{it}} + \lambda_i E \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \lambda_i & \\ 1 & \lambda_i & & \\ \vdots & \ddots & \ddots & \\ 0 & \cdots & 1 & \lambda_i \\ & & & & \lambda_i \\ & & & & 1 & \lambda_i \\ & & & & \vdots & \ddots & \ddots \\ & & & & 0 & \cdots & 1 & \lambda_i \\ & & & & & & & & \ddots & \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} J_{i1}(\lambda_i) & & & \\ & J_{i2}(\lambda_i) & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_{it}(\lambda_i) \\ \end{pmatrix} \end{align*}\]为一个 Jordan 标准形。
又有：
\[\mathcal{A} = \bigoplus_{i=1}^k \mathcal{A}|_{\overline{V_{\lambda_i}}}\]从而 \(\mathcal{A}\) 在 \(V\) 的一组基下的矩阵为：
\[J(\mathcal{A}) = \begin{pmatrix} J_{1} & & & \\ & J_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_{k} \\ \end{pmatrix}\]为一个 Jordan 标准形。从而 Jordan 标准形的存在性得证。
Jordan-Chevalley 分解
TODO: Jordan-Chevalley 分解
最小多项式
对于一个矩阵 \(A\) ，由 Hamilton-Cayley 定理，我们知道它的特征多项式 \(f(\lambda)\) 是一个关于 \(\lambda\) 的多项式，且满足：
\[f(A) = O\]更一般地，我们可以定义零化多项式为：
零化多项式
对于一个矩阵 \(A\) ，如果存在一个非零多项式 \(p(\lambda)\) 使得 \(p(A) = O\)，则称 \(p(\lambda)\) 是\(A\) 的零化多项式， \(A\) 被称作多项式 \(p(\lambda)\) 的根矩阵。
零化多项式有很多，我们关心的自然是其中最简单的一个。这样的多项式被称作最小多项式，它是所有零化多项式中次数最低的一个首一多项式。这样的多项式是唯一的，这可以通过带余除法容易的证明。
接下来，我们给出一个简单的定理，它给出了最小多项式与其它零化多项式的关系：
设一个线性变换 \(\mathcal{A}\) 的最小多项式为 \(g_{\mathcal{A}}(\lambda)\)，则 \(p(\lambda)\) 是 \(\mathcal{A}\) 的零化多项式当且仅当：
\[g_{\mathcal{A}}(\lambda) \mid p(\lambda)\]
同样，通过一个带余除法可以容易地证明。又因为有 Hamilton-Cayley 定理，最小多项式一定是特征多项式的因式。
TODO：更多关于最小多项式的性质
多项式矩阵理论
当一个矩阵的每一个元素都是 \(\mathbb{F}[\lambda]\) 中的多项式时，我们称这样的矩阵为多项式矩阵，有时也称作 \(\lambda\)-矩阵。它和此前讨论的数字矩阵在很多方面有相似的性质，但是也有一些独特的性质。我们将看到这些独特的性质在 Jordan 标准形理论中的作用。
初等变换与可逆性
多项式矩阵的初等变换数字矩阵的初等变换并没有本质上的区别，同样也有初等矩阵的定义。此外，对于多项式的矩阵，我们也有相同的行列式的定义以及 Laplace 展开定理。
多项式矩阵同样也有逆矩阵的定义，且逆矩阵的存在性也可以通过行列式来判断。具体而言，当一个多项式矩阵的行列式为一个非零常数时，这个多项式矩阵存在逆矩阵。
当两个多项式矩阵可以通过初等变换化为同一个多项式矩阵时，我们称这两个多项式矩阵是等价的。这个概念将在此后多次用到。
多项式矩阵的 Smith 标准形
类似于数字矩阵的标准形，多项式矩阵也可以通过初等变换化为一个标准形，这种标准形被称作 Smith 标准形。它的定义如下：
Smith 标准形
对于一个多项式矩阵 \(M(\lambda)\) ，若其为对角矩阵：
\[M(\lambda) = \begin{pmatrix} d_1(\lambda) & & &\\ & d_2(\lambda) & & \\ & & \ddots & \\ & & & d_r(\lambda) \\ & & & & 0 & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 0 \end{pmatrix}\]且满足：
\[d_i(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda),\ i = 1, 2, \ldots, r-1\]且均为首一多项式，则称这样的矩阵为Smith 标准形。
它的存在性的证明比较复杂。首先，我们需要证明几个引理
Lemma
设一个多项式矩阵 \(A(\lambda)\) 的 \((1,1)\) 元素非零，且矩阵中至少有一个元素不能被 \(a_{11}(\lambda)\) 整除，则 \(A(\lambda)\) 等价于一个矩阵 \(B(\lambda)\) ，且有 \(0 \le \mathrm{deg}(b_{11}(\lambda)) < \mathrm{deg}(a_{11}(\lambda))\) 。
Proof
TODO: Lemma 1 of Smith Normal Form
Lemma
对于任意一个非零的多项式矩阵 \(A(\lambda)\) ，它等价于一个 \((1,1)\) 元素非零且可以整除矩阵中所有元素的多项式矩阵 \(B(\lambda)\)。
Proof
TODO: Lemma 2 of Smith Normal Form
通过这两个引理，我们可以证明 Smith 标准形的存在性定理：
Smith 标准形的存在性
对于任意一个多项式矩阵 \(A(\lambda)\) ，存在一个等价于 \(A(\lambda)\) 的 Smith 标准形矩阵 \(S(\lambda)\)。
Proof
TODO: Smith Normal Form Existence
行列式因子、不变因子与初等因子
首先给出定义：
行列式因子
对于一个秩为 \(r\) 的多项式矩阵 \(A(\lambda)\) ，它的所有 \(k\) 阶非零子式的首项系数为 \(1\) 的最大公因式 \(D_k(\lambda)\) 称为 \(A(\lambda)\) 的 \(k\) 阶行列式因子。它是多项式矩阵的初等变换的不变量。
Proof
只需证明三类初等变换不会改变行列式因子即可。
又因为一个多项式矩阵总是等价于它的 Smith 标准形，因此它的行列式因子可以直接从 Smith 标准形中读出。另一方面，因为行列式因子被矩阵本身唯一决定，因此可以自然地推出：一个多项式矩阵的 Smith 标准形是唯一的。
具体来说，对于一个多项式矩阵 \(A(\lambda)\) ，其 Smith 标准形为
\[S(\lambda) = \begin{pmatrix} d_1(\lambda) & & &\\ & d_2(\lambda) & & \\ & & \ddots & \\ & & & d_r(\lambda) \\ & & & & O_{(m-r) \times (n-r)} \\ \end{pmatrix}_{m \times n}\]则可以确定这个矩阵的行列式因子为：
\[d_1(\lambda), d_1(\lambda) d_2(\lambda), \ldots, d_1(\lambda) d_2(\lambda) \cdots d_r(\lambda)\]这里的 \(d_i(\lambda)\) 则称作 \(A(\lambda)\) 的不变因子。特别地，当 \(\mathbb{F} = \mathbb{C}\) 时，不变因子总是可以分解为若干个一次因子的幂的乘积，这些一次因子的幂被称作初等因子，相同的按照重数计数。从而可以轻松地给出从初等因子组构造不变因子的方法。又因为不变因子和行列式因子都是初等变换的不变量，于是初等因子也是初等变换的不变量，且有定理：两个复数域上的多项式矩阵等价当且仅当秩与初等因子集均相等。在后面我们将看到，初等因子与矩阵的 Jordan 标准形有着密切的关系。
初等因子的计算
TODO: Calculate elementary divisors
数字矩阵的相似的刻画
在这一节我们将给出一个重要的定理，它描述了数字矩阵的相似与对应的特征矩阵的等价之间的关系。
首先，我们定义一个数字矩阵的特征矩阵：
特征矩阵
设 \(A\) 是一个 \(n \times n\) 的数字矩阵，则它的特征矩阵定义为：
\[A(\lambda) = \lambda E - A\]
然后，照例，我们给出两个引理：
Lemma
设有 \(n\times n\) 的数字矩阵 \(A\) 和 \(B\) ，若存在数字矩阵 \(P\) 和 \(Q\) 使得：
\[\lambda E - A = P(\lambda E - B)Q\]则 \(A\) 和 \(B\) 相似。
Proof
TODO: Proof of Lemma 1 of Similarity of Matrices
Lemma
对于 \(n\) 阶数字方阵 \(A\) 和多项式矩阵 \(U(\lambda)\) ，存在唯一的多项式矩阵 \(Q(\lambda)\) 和 \(R(\lambda)\) 和数字矩阵 \(U_Q\) 和 \(U_R\) 使得：
\[U(\lambda) = (\lambda E - A) Q(\lambda) + U_Q \\ U(\lambda) = R(\lambda) (\lambda E - A) + U_R\]这有时也被视作多项式矩阵的带余除法。
Proof
TODO: Proof of Lemma 2 of Similarity of Matrices
通过这两个引理，我们可以给出一个数字矩阵相似的充分必要条件：
数字矩阵相似的充分必要条件
设 \(A\) 和 \(B\) 是两个 \(n \times n\) 的数字矩阵，则 \(A\) 和 \(B\) 相似当且仅当它们的特征矩阵等价
Proof
先证必要性。
相似，从而存在可逆矩阵 \(T\) 使得 \(A = T^{-1} B T\) ，从而有：
\[\lambda E - A = \lambda E - T^{-1} B T = T^{-1} (\lambda E - B) T\]从而特征矩阵 \(\lambda E - A\) 与 \(\lambda E - B\) 等价。
再证充分性
TODO: The proof of sufficiency of Similarity of Matrices
从这个定理可以得知，数字矩阵的一些性质可以通过它的特征矩阵的性质来表现。对于数字矩阵，我们将它们的行列式因子、不变因子与初等因子定义为它的特征矩阵的行列式因子、不变因子与初等因子。