群作用和稳定子群
群作用、轨道-稳定子定理与 Burnside 引理。
群作用 (Group Action)
群作用是抽象代数中一个重要概念，它描述了一个群 \(G\) 如何“作用”于一个集合 \(X\) 上。具体定义如下：
- 给定一个群 \(G\) 和一个集合 \(X\)，一个群作用是一个映射 \(\phi: G \times X \to X\)，满足以下两个性质：
- 单位元作用：对于 \(G\) 的单位元 \(e\)，\(\phi(e, x) = x\) 对于所有 \(x \in X\)。
- 结合律：\(\phi(g_1, \phi(g_2, x)) = \phi(g_1 g_2, x)\) 对于所有 \(g_1, g_2 \in G\) 和 \(x \in X\)。
通常简记为 \(g \cdot x = \phi(g, x)\)，表示 \(g\) 对 \(x\) 的作用。
示例
- 对称群作用：考虑对称群 \(S_3\)（3个元素的置换群）作用于集合 \(X = \{1, 2, 3\}\)。每个置换 \(\sigma \in S_3\) 作用于 \(i \in X\) 为 \(\sigma \cdot i = \sigma(i)\)。
- 平移作用：整数加法群 \((\mathbb{Z}, +)\) 作用于实数集 \(\mathbb{R}\)，定义为 \(n \cdot x = x + n\)。
群作用可以是保真作用（faithful，如果 \(g \cdot x = x\) 对于所有 \(x\) 蕴涵 \(g = e\)）或有效作用（effective，同保真）。
群轨道 (Orbit)
对于 \(x \in X\)，\(x\) 的轨道（orbit）是所有通过群元素作用于 \(x\) 所能到达的点的集合：
\[\text{Orb}(x) = \{ g \cdot x \mid g \in G \}\]轨道刻画了 \(G\) 对 \(X\) 的“等价类”划分：\(X\) 被分解为互不相交的轨道。
示例
- 在 \(S_3\) 作用于 \(\{1,2,3\}\) 的例子中，每个点的轨道是整个集合 \(\{1,2,3\}\)，因为 \(S_3\) 是满射的。
- 如果 \(G = \{e\}\)（平凡群），则每个点的轨道只是 \(\{x\}\) 本身。
轨道的基数 \(|\text{Orb}(x)|\) 称为 \(x\) 的轨道大小。
稳定子群 (Stabilizer Subgroup)
对于 \(x \in X\)，\(x\) 的稳定子群（stabilizer）是所有保持 \(x\) 不变的群元素的子集：
\[\text{Stab}(x) = \{ g \in G \mid g \cdot x = x \}\]\(\text{Stab}(x)\) 是一个 \(G\) 的子群（稳定子定理）。
示例
- 在 \(S_3\) 作用于 \(\{1,2,3\}\) 中，\(\text{Stab}(1) = \{e, (2\ 3)\}\)（交换2和3的置换），这是一个阶为2的子群。
- 在平移作用中，\(\text{Stab}(x) = \{0\}\) 对于所有 \(x\)。
轨道-稳定子定理 (Orbit-Stabilizer Theorem)
这是一个核心定理，联系轨道和稳定子：
\[|\text{Orb}(x)| \cdot |\text{Stab}(x)| = |G|\]即，轨道的基数乘以稳定子群的阶等于原群的阶。
证明要点
- 考虑映射 \(\psi: G \to \text{Orb}(x)\)，\(\psi(g) = g \cdot x\)。其核大小为 \(|\text{Stab}(x)|\)，故由第一同构定理得结果。
可迁性
一个群 \(G\) 在集合 \(X\) 上的作用是可迁的 (Transitive)，如果对于集合 \(X\) 中的任意两个元素 \(x\) 和 \(y\)，都存在一个群元素 \(g \in G\)，使得 \(g \cdot x = y\)。
换句话说：群 \(G\) 的作用只有一个轨道 (Orbit)。
应用与性质
- 商集：轨道形成 \(X/G\) 的自然分解。
- 固定点：如果 \(\text{Stab}(x) = G\)，则 \(x\) 是固定点，轨道为单点。
- 在表示论中，群作用用于构造群表示。
这些概念是群论中研究对称性的基础，可扩展到李群或拓扑空间上的作用。参考 群
有限群作用的轨道公式
设有限群 \(G\) 在有限集合 \(S\) 上有一个作用，则 \(S\) 被划分为若干互不相交的轨道的并，则有：
\[|\text{Orb}(x)|=|Gx| = (G:\text{Stab}(x)) = \frac{|G|}{|\text{Stab}(x)|}\]考虑每个轨道取一个代表元，它们构成一个集合 \(D = \{x_{1},\cdots ,x_{d}\}\) ，这个集合有时被称作代表元全系，从而 \(S\) 可以分为它们的轨道的并，从而有公式：
\[|S| = \sum_{i=1}^{d} (G : \text{Stab}(x_{i}))\]这个公式称作轨道公式，在 Sylow 子群中有重要作用。
如果取这个群作用作用在自己身上，也就是 \(G = S\) 则可以得到著名的类方程。这个时候考虑群 \(G\) 的中心 \(C(G)\) ，取群作用为共轭作用，那么对于群的中心中的每一个元素，他的共轭总等于自己，于是对应的轨道长度总是 \(1\) ；而对于另一些不在中心中的元素，他的稳定化子 \(\text{Stab}(x) = \{ g | gxg^{-1} = x \} = \{ g | gx=xg \} = C_{G}(x)\) 也就是中心化子，从而有类方程：
\[|G| = |C(G)| + \sum_{x_{i} \not\in C(G)} (G:C_{G}(x_{i}))\]于是可以给出两个重要结论：
- \(p\)-群一定有非平凡的中心
- \(p^2\) 阶群一定是 Abel 群
轨道公式的一些应用
轨道公式最重要的应用之一自然是Sylow 子群，这部分将会在单独的笔记中呈现。
Cayley 定理
定理本身在群中已经给出，这里给出它的证明。
考虑一个有限群 \(G\) ，令 \(S(G)\) 为 \(G\to G\) 的所有双射构成的集合，他们在复合运算下构成一个群。显然对于一个 \(n\) 阶的群 \(G\) ，\(S(G) \cong S_{n}\) 。于是对于这个有限群 \(G\) ，\(S(G)\) 可以给出 \(G\) 上的一个作用。对于任意一个 \(G\) 中的元素 \(a\) ，令 \(f(a)\) 为 \(g \mapsto ag\) ，则这给出了一个从 \(G\) 到 \(S(G)\) 上的单同态。于是 \(G\) 同构于 \(S(G)\) 的一个子群，即 \(G\) 同构于一个置换群。