几何理论

Lyapunov 稳定性理论只能判定稳定性和吸引性，但是针对一些更一般的情形则需要直接研究积分曲线的几何性质。因此也就有了庞加莱建立的关于微分方程解的几何理论，也称作定性理论。

相空间、轨线、相图

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奇点与不变直线

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平面线性自治系统的奇点分析

这个时候系统可以写成：

\[\begin{cases} \frac{ \mathrm{d} x }{ \mathrm{d} t } =ax+by \\ \frac{ \mathrm{d} y }{ \mathrm{d} t } =cx+by \end{cases}\]

的形式。于是系数矩阵 \(Q\) 在 \(\mathbb{C}\) 上必定有两个特征值，于是可以从两个特征值出发判断解的稳定性，并给出轨线。

非退化情况

此时必定有两个非零特征值，这个时候又可以进一步分为三类。

两不等实特征值

此时考虑两个特征值的符号。

1. 两个特征值均为负，则称这样的奇点为稳定结点
2. 两个特征值均为正，则称这样的奇点为不稳定结点
3. 一正一负，则称为鞍点

此时不变直线一定是两个特征向量指向的方向。

一对相等实根

此时需要考虑线性无关的特征向量的个数，即对应 Jordan 块的大小。

1. 当有两个线性无关特征向量时，则 \(\mathbb{R}^2\) 的任意向量都是特征向量，从而任意一条过奇点的直线都是不变直线，这个时候称作星形结点。同样地，按照特征值 \(\lambda\) 的符号，可以分为稳定与不稳定星形结点。
2. 当只有一个线性无关特征向量时，称作退化结点，此时除了不变直线以外所有轨线都与不变直线相切且切在奇点上。同样按照特征值符号判断稳定性。

一对共轭复根

此时需要考虑实部的值

1. 实部为 \(0\) ，则此时的奇点称作中心，此时所有的轨线都是一圈一圈围绕奇点的闭轨。所有中心都稳定但都不是渐进稳定的。
2. 实部非 \(0\) ，则奇点称作焦点，轨线是螺旋线，按照特征值大小区分稳定与b不稳定。

退化情况

此时按照零特征值的重数分为两种情况

1. 一个零特征值，此时轨线为从一条直线出发的一组平行直线，按照另一个特征值的符号判断远离和接近
2. 两个零特征值，此时轨线为平面上的一组平行直线

极限环