Gronwall 不等式
Gronwall 不等式及其在解估计中的应用。
单调不减时的 Gronwall 不等式
对于积分不等式：
\[u(t) \leq \beta(t) + \int_{a}^{t} \alpha(s)u(s)\mathrm{d}s\]如果满足：
- \(\alpha(t),\ \beta(t),\ u(t)\) 均非负且连续
- \(\beta(t)\) 单调不减
则有不等式：
\[u(t) \leq \beta(t) \exp\left( \int_{a}^{t} \alpha(s) \mathrm{d}s \right)\]证明
构造辅助函数 \(R(t) = \int_{a}^{t} \alpha(s)u(s) \mathrm{d}s\) ，则有 \(R’(t) = \alpha(t)u(t)\) 。不等式两边同乘 \(\alpha(t)\) ，则有：
\[\alpha(t)u(t) \leq \alpha(t)\beta(t) + \alpha(t) R(t)\]考虑积分因子 \(\mu(t) = \exp\left( -\int_{a}^t\alpha(s)\mathrm{d}s \right)\) ，则有 \(\mu’(t) = -\alpha(t)\mu(t)\) 。从而：
\[\mu(t)\alpha(t)u(t)\leq \mu(t)\alpha(t)\beta(t)+\mu(t)\alpha(t)R(t)\]又有 \(R’(t) = \alpha(t)u(t)\) 从而：
\[\mu(t)R’(t) + \mu’(t) R(t) = (\mu(t)R(t))’ \leq \mu(t) \alpha(t)\beta(t)\]两边积分
\[\mu(t)R(t) \leq \int_{a}^t \mu(s)\alpha(s)\beta(s)\mathrm{d}s \leq \beta(t)\int_{a}^t\mu(s)\alpha(s)\mathrm{d}s = \beta(t) (1-\mu(t))\]从而：
\[R(t) \leq \beta(t)\exp\left( \int_{a}^t \alpha(s)\mathrm{d}s \right) - \beta(t)\]代入原不等式：
\[u(t) \leq \beta(t) + R(t) \leq \beta(t)\exp\left( \int_{a}^t \alpha(s)\mathrm{d}s \right)\]非齐次形式
此时的不等式为：
\[u(t) \leq \beta(t) + \int_{a}^t \left[ u(s)\alpha(s) + K \right] \mathrm{d}s\]对应的结论也会添加一个非齐次项：
\[u(t) \leq [\beta(t) + K(x-x_{0})] \exp\left( \int_{a}^x \alpha(s)\mathrm{d}s \right)\]