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Galois 理论

Galois 理论：Galois 扩张与基本对应。

2026.02.05 · 8 min · evolving · 数学

这里主要讲关于 Galois 理论本身的一些内容。Galois 理论思想发展这篇笔记中有 AI 生成的关于 Galois 理论的发展历程。

基本理论

考虑一个域扩张 \(E/F\) ，记 \(\mathrm{Aut}(E/F)\) 为 \(E\) 上的所有满足 \(F\) 不变的自同构，显然它仍然构成一个群。

于是，可以给出两个对应关系：

  1. 从域到群：对于一个 \(E/F\) 的中间群 \(K\) ，\(\mathrm{Aut}(E/K)\) 是 \(\mathrm{Aut}(E/F)\) 的子群，从而可以给出从 \(E / F\) 的所有中间域到 \(\mathrm{Aut}(E /F)\) 的一个映射
  2. 从群到域：对于 \(\mathrm{Aut}(E / F)\) 的一个子群 \(H\) ，令 \(E^H = \{ b \in E \ |\ \sigma(b)=b\ \forall \sigma \in H \}\) ，也就是 \(E\) 中所有保持在 \(H\) 中所有变换下都不变的元素构成的集合，这是一个 \(E / F\) 的中间域，有时叫做固定子域，于是给出了一个从 \(\mathrm{Aut}(E / F)\) 到 \(E / F\) 的所有中间域的映射

下一步需要定义嵌入的概念。这个概念事实上就是字面意思，对于一个有限扩张 \(E / F\) 和一个任意扩张 \(L / F\) 如果存在一个单同态 \(\sigma:E\to L\) 满足 \(\sigma(a)=a\) 对于所有 \(a \in F\) 成立，那么称为 \(E / F\) 到 \(L\) 中的一个嵌入。

利用域扩张的线性空间的性质，可以证明一个引理：

::: important Lemma 有限扩张 \(E / F\) 到 \(L\) 中的嵌入的总数不超过 \([E:F]\) 。从而有限扩张 \(E / F\) 的自同构群 \(|\mathrm{Aut}(E / F)| \leq [E:F]\)

::: 在这里可以看到，当一个域扩张的自同构达到最大化的时候，也就是 \(|\mathrm{Aut}(E / F)| = [E:F]\) 的时候，会有一些特殊的性质。这个时候称这个域扩张为一个Galois 扩张。这个时候同构群 \(\mathrm{Aut}(E / F)\) 称作域扩张的 Galois 群，记作 \(G(E / F)\) 或 \(\text{Gal}(E / F)\) 。

以下给出几个结论：

  1. 假定域 \(F\) 的特征不为 \(2\) ，那么可以得出 \(F\) 的任意一个二次扩张都是 Galois 扩张。
  2. 有限域的任意一个有限扩张均为 Galois 扩张且 Galois 群是一个循环群。
  3. 设 \(E / F\) 是一个有限 Galois 扩张， \(K\) 是一个中间域，那么 \(E / K\) 是一个 Galois 扩张。
  4. 设 \(E\) 是一个域，\(G\) 是 \(\mathrm{Aut}(E)\) 的一个有限子群， \(F = E^G\) ，则 \(E / F\) 是一个 Galois 扩张，且 \(G(E / F) = G\)
  5. 一个有限扩张 \(E / F\) 是 Galois 扩张当且仅当对于任意的 \(\alpha \in E \setminus F\) 存在 \(\sigma \in \mathrm{Aut}(E / F)\) 使得 \(\sigma(\alpha) \neq \alpha\)

这些结论在 Galois 理论中有重要作用

有限 Galois 扩张的基本定理

设 \(E / F\) 是一个有限 Galois 扩张，且 \(n = [E:F]\) ，则有：

  1. 映射 \(\phi:K \mapsto \mathrm{Aut}(E / K)\) 和 \(\psi:H \mapsto E^H\) 给出 \(E / F\) 的 Galois 中间域集合与 \(G(E / F)\) 的子群集合中的一一对应
  2. 对于任意中间域 \(K\)，总有 \([K:F] = (G(E / F):G(E / K))\) ，即域扩张的次数等于子群的指数
  3. \(K / F\) 是 Galois 扩张当且仅当 \(G(E / K) \unlhd G(E / F)\) ，此时 \(G(K / F) \cong G(E / F) / G(E / K)\) 。这个定理的结构有点类似第三同构定理。

从而可以得出一个推论：有限扩张 \(E / F\) 是 Galois 扩张当且仅当存在 \(\alpha \in E\) 满足：

  1. \(E = F[\alpha]\)
  2. \(\alpha\) 的极小多项式 \(f(x) \in F[x]\) 在 \(E\) 中分解为 \(f(x) = (x-\alpha_{1}) \cdots (x-\alpha_{n})\) 其中 \(\alpha = \alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots ,\alpha_{n}\) 两两不同

分裂域

对于一个域 \(F\) ，\(f(x) \in F[x]\) ，设 \(\alpha_{1}, \dots , \alpha_{n}\) 为 \(f(x)\) 在 \(F\) 的代数闭包中的所有零点，则称 \(F[\alpha_{1}, \dots , \alpha_{n}]\) 为 \(f(x)\) 的一个分裂域。分裂域可以理解成是，对于一个多项式 \(f(x)\) ，最小的一个能够包含它的所有零点的扩域。

正规扩张

一个代数扩张 \(E / F\) 被称作正规扩张，若 \(E\) 中任意一个元素在 \(F\) 上的极小多项式，只要在 \(E\) 上有根，就在 \(E\) 上完全分裂。用另一种语言来说，设 \(E / F\) 为有限扩张，从 \(E / F\) 到 \(L / F\) 的任意一个嵌入都把 \(E\) 映到 \(E\) ，则称这个扩张正规。

可分扩张

如果一个不可约多项式在分裂域中没有重根，则称他是可分多项式。如果一个元素 \(\alpha\) 的极小多项式可分，那么称这个元素是可分元素。如果一个扩张 \(E / F\) 中每一个元素都是可分的，那么称它为一个可分扩张。另一种定义仍然是考虑嵌入，如果存在 \([E:F]\) 个不同的从 \(E / F\) 到 \(L / F\) 的嵌入，那么这个扩张是可分的。

Galois 扩张的判定

这里给出几个判定定理：

  1. 一个扩张是 Galois 扩张，当且仅当它是可分正规扩张
  2. 一个扩张是 Galois 扩张，当且仅当 \(E\) 是 \(F[x]\) 中一个没有重零点的多项式 \(f(x)\) 的分裂域

从可分扩张和正规扩张的两种等价定义来看，这两个定理是等价的。

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在伽罗瓦理论中，判断一个域扩张 \(L/K\) 是否为伽罗瓦扩张（Galois Extension），通常有几种等价的方法。我们可以从定义出发，也可以利用一些实用的判定准则。

1. 根本定义法

一个扩张 \(L/K\) 是伽罗瓦扩张，当且仅当它满足以下两个条件：

  1. 正规性（Normal）： \(L\) 是 \(K\) 上一组多项式的分裂域。通俗地说，如果 \(K\) 上的一个不可约多项式在 \(L\) 中有一个根，那么它所有的根都在 \(L\) 中。
  2. 可分性（Separable）： \(L\) 中每一个元素在 \(K\) 上的极小多项式都没有重根。

简而言之：伽罗瓦扩张 = 正规扩张 + 可分扩张。

2. 有限扩张的实用判定准则

在实际应用中，我们处理的大多是有限扩张 \([L:K] < \infty\)。以下是判断有限扩张是否为伽罗瓦扩张的几种常用方式：

方法 A：自同构群的阶

检查 \(L\) 在 \(K\) 上的自同构群（记作 \(\text{Aut}(L/K)\)，即保持 \(K\) 不动的 \(L\) 的自同构集合）的大小。

  • 准则： 如果 \(|\text{Aut}(L/K)| = [L:K]\)（扩张次数），则该扩张是伽罗瓦扩张。此时该群被称为伽罗瓦群 \(\text{Gal}(L/K)\)。
  • 注意： 如果 \(|\text{Aut}(L/K)| < [L:K]\)，则它不是伽罗瓦扩张。

方法 B：分裂域准则

  • 准则： \(L/K\) 是伽罗瓦扩张，当且仅当 \(L\) 是 \(K\) 上某个可分多项式（没有重根的多项式）的分裂域。
  • 应用举例：
    • \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) / \mathbb{Q}\) 是 \((x^2-2)(x^2-3)\) 的分裂域，由于特征为 0，多项式显然可分，所以它是伽罗瓦扩张。
    • \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) / \mathbb{Q}\) 不是伽罗瓦扩张。虽然它是 \(x^3-2\) 根的扩域，但它只包含一个实根，不包含另外两个复根，因此不满足正规性。

方法 C：固定域准则

  • 准则： 如果存在一个有限群 \(G \subseteq \text{Aut}(L)\)，使得 \(K\) 恰好是 \(L\) 在 \(G\) 作用下的固定域（即 \(K = L^G\)），那么 \(L/K\) 是伽罗瓦扩张，且 \(\text{Gal}(L/K) = G\)。

3. 特殊背景下的快捷判断

在特定的数域背景下，判断会变得非常简单：

  • 特征为 0 的域（如 \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\)）： 在特征为 0 的域上，所有代数扩张都是可分的。因此，你只需要判断扩张是否是正规的（即：是否是一个多项式的所有根都在扩域里）。
  • 有限域 \(\mathbb{F}_q\)： 有限域的所有有限扩张都是伽罗瓦扩张。由于有限域是完美的（Perfect Field），可分性自然满足，且循环扩张的性质保证了正规性。
  • 特征为 \(p\) 的函数域： 这时需要格外小心不可分扩张（例如添加 \(t^{1/p}\) 到 \(\mathbb{F}_p(t)\)），通常通过检查极小多项式是否有导数为 0 的情况来判断。

总结：你的检查清单

当你拿到一个扩张 \(L/K\) 时，可以按以下步骤思考：

  1. 确定扩张次数 \([L:K]\) 是多少？
  2. 找极小多项式： 找到生成元的极小多项式 \(f(x)\)。
  3. 检查根的情况：
    • \(f(x)\) 的所有根都在 \(L\) 中吗？（如果不全在，则不满足正规性，不是伽罗瓦扩张）。
    • \(f(x)\) 有重根吗？（在特征 0 时永远没有；在特征 \(p\) 时需检查 \(f'(x)\)）。
  4. 计算自同构： 看看你能找到多少个不同的映射方式，如果数量等于 \([L:K]\)，结论成立。

例子：

  • \(\mathbb{Q}(i) / \mathbb{Q}\)：次数为 2，极小多项式 \(x^2+1\) 的根是 \(\pm i\)，都在域内，特征 0 必可分 \(\Rightarrow\) 是。
  • \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) / \mathbb{Q}\)：次数为 3，极小多项式 \(x^3-2\) 的另外两个根是复数，不在域内 \(\Rightarrow\) 不是。

希望这个梳理对你的学习有所帮助！如果你有具体的例子需要分析，欢迎随时提问。