稳定性理论 — Arendelle Royal Library

对于一个一般的系统，我们很难具体求解它的解，因此很多时候需要从方程本身出发研究解的性质。对于一类系统，我们时常需要关心初值的扰动对方程的解的影响。

Lyapunov 稳定性

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Lyapunov稳定性 (Stability): 如果对于任意给定的 \(\epsilon > 0\) 和起始时刻 \(t_0\)，都存在一个 \(\delta(t_0, \epsilon) > 0\)，使得当 \(\|x(t_0)\| < \delta\) 时，对于所有的 \(t \ge t_0\)，都有： \(\|x(t)\| < \epsilon\) 直观理解：如果初始状态足够靠近平衡点，则系统状态将永远保持在预定义的范围内。
一致稳定性 (Uniform Stability, US): 如果在上述定义中，\(\delta\) 的选取只与 \(\epsilon\) 有关，而与起始时刻 \(t_0\) 无关，则称平衡点是一致稳定的。 直观理解：无论你从什么时候开始观察系统，稳定性的“容差范围”都是一样的。

吸引性 (Attractivity): 如果存在 \(\delta(t_0) > 0\)，使得当 \(\|x(t_0)\| < \delta\) 时，状态轨迹满足： \(\lim_{t \to \infty} x(t) = 0\) 直观理解：系统状态最终会收敛到平衡点。
一致吸引性 (Uniform Attractivity): 如果状态收敛到平衡点的速度与起始时刻 \(t_0\) 无关，则称其具有一致吸引性。具体定义为：存在 \(\delta > 0\)，对于任意 \(\epsilon > 0\)，存在一个时间常数 \(T(\epsilon) > 0\)（与 \(t_0\) 无关），使得当 \(\|x(t_0)\| < \delta\) 时，对于所有的 \(t \ge t_0 + T\)，都有： \(\|x(t)\| < \epsilon\)

渐近稳定 (Asymptotic Stability, AS): 如果平衡点既是 Lyapunov稳定 的，又是 具有吸引性 的，则称其为渐近稳定。 注意：仅有吸引性并不一定稳定，必须两者兼备。
一致渐近稳定 (Uniform Asymptotic Stability, UAS): 如果平衡点既是 一致稳定 的，又是 一致吸引 的，则称其为一致渐近稳定。 在工程应用中，UAS 是非常重要的性质，因为它保证了系统性能在时间轴上的鲁棒性。

重要提示： 对于线性时不变系统 (LTI)，即 \(\dot{x} = Ax\)，“稳定性”与“一致稳定性”是等价的，“渐近稳定”与“一致渐近稳定”也是等价的。这些区别主要存在于时变系统中。

这里主要针对零解进行讨论，其他的解的讨论是类似的。

对于一个微分方程：

\[\frac{ \mathrm{d} \mathbf{x} }{ \mathrm{d} t } =\mathbf{f}(t,\mathbf{x})\]

考虑它的线性近似：

\[\mathbf{f}(t,\mathbf{x}) = \mathbf{A}(t)\mathbf{x} + \mathbf{R}(t,\mathbf{x}),\quad t>\beta\]

这里 \(\mathbf{A}\) 为 \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\) 时的 Jacobian 矩阵，它是一个关于 \(t\) 的矩阵函数，而 \(\mathbf{R}\) 则是高阶扰动项，从而近似方程：

\[\frac{ \mathrm{d} \mathbf{x} }{ \mathrm{d} t } =\mathbf{A}(t)\mathbf{x}\]

对于线性方程，设它的基解矩阵为 \(\Phi(t)\) ，则它的稳定性可以用它的基解矩阵来判断：

\(\|\Phi(t)\|\) 有界则稳定，\(\lim_{ t \to +\infty }\|\Phi(t)\| = 0\) 则渐进稳定
\(\|\Phi(t)\Phi^{-1}(s)\|\) 有界则一致稳定，若存在 \(M\) 和 \(\alpha\) 使得 \(\|\Phi(t)\Phi^{-1}(s)\|\leq Me^{ -\alpha(t-s) }\) 成立则一致渐进稳定

这里的矩阵 \(\Phi(t)\Phi^{-1}(s)\) 有时称作状态转移矩阵，因为对于任意一个状态 \(x(t)\) 总有 \(x(t) = \Phi(t)\Phi ^{-1}(s)x(s)\) 成立。

当 \(\mathbf{A}\) 还是一个常矩阵时，进一步的可以直接从特征值出发判断：

这可以从一般的情形推出；另一方面也可以感性地理解：对于每一个实部为正的特征值，它会对应至少一个 \(e^{ \lambda t }\) 形式的项，从而发散，而实部为 \(0\) 但 Jordan 块大于一阶的时候则对应至少一个 \(t^p\) 形式的项，其中 \(p>0\) ，从而也发散。

接下来考虑非线性方程，我们将会证明当余项 \(\mathbf{R}\) 满足一定条件时非线性方程也是一致稳定的。

Lyapunov 第二方法需要构造一个 Lyapunov 函数，满足：