解的连续依赖性问题
解对初值与参数的连续依赖。
当微分方程的初值在变化时，方程的解可以视作一个关于初值的函数，这就是连续依赖性问题。
解对初值的连续依赖性
定理
设 \(G \subset \mathbb{R}^2\) 时一个联通的区域，\((x_{0},y_{0}) \in G\) ，且 \(f(x,y)\) 在 \(G\) 上满足局部 Lipschitz 条件，且 \(y = \phi(x;x_{0},y_{0})\) 是初值问题的唯一解，\([a,b]\) 是存在区间的一个闭子区间，则当 \((\xi,\eta)\) 充分接近 \((x_{0},y_{0})\) 时这个微分方程的唯一解 \(y = \phi(x;\xi,\eta)\) 也存在，且对所有 \(x \in [a,b]\) 一致的有：
\[\lim_{ (\xi,\eta) \to (x_{0},y_{0}) } \phi(x;\xi,\eta) = \phi(x;x_{0},y_{0})\]证明
首先利用有限覆盖原理构造有限开覆盖，然后利用 Picard 存在唯一性定理构造唯一解，利用延拓定理证明存在区间是充分的；然后利用 Gronwall 不等式证明唯一性。
解对初值的可微性
定理
当 \(f(x,y)\) 对 \(y\) 的偏导连续时，初值问题的解 \(\phi(x;x_{0},y_{0})\) 作为 \((x_{0},y_{0})\) 的函数是可微的
证明
首先考虑差商，根据连续性可以得到