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群

群的基本理论：定义、子群、同态与正规子群。

2025.10.14 · 22 min · evolving · 数学

群的定义

对于一个集合 \(S\) 以及其上运算：\(f: S \times S \to S\) ，且运算 \(f\) 满足结合律与封闭性，则称 \((S, f)\) 为一个半群。

对于一个半群，如果还存在恒等元，则称其为幺半群。

对于一个幺半群，若对于所有元素还存在逆元，则称其为群。

一些特殊的群

对于一个群 \(G\) ，若其中元素有限，则称其为有限群。

::: note 群的阶 定义一个群中所有元素的个数为群的阶，记作 \(|G|\) 。

::: 在一个有限群中，任意一个元素与自己经过一定次数的运算后一定会等于单位元，因此有定义：

::: note 群元素的阶 对于 \(g\in G\) ，定义：\(o(g) = \min\{n \in \mathbb{N}\ |\ g^n = 1 \}\)

::: 另外，对于常见的群，例如整数的加法群，不仅满足结合律，也满足交换律，因此有：

::: note Abel 群 对于一个群，如果群运算满足交换律，则称其为交换群，也称作 Abel 群。

::: 在代数中，矩阵也是我们常常考虑的研究对象之一。容易证明，\(n\) 阶方阵在矩阵乘法下构成一个幺半群，这是因为矩阵不一定可逆。如果将矩阵限制在可逆的范畴内，有：

::: note 一般线性群 对于数域 \(K\) 上的全体 \(n\) 阶可逆方阵在矩阵乘法下构成的群，称作一般线性群 general linear group ，记作 \(GL_{n}(K)\) 。容易证明 \(n > 1\) 时它不是一个 Abel 群。

:::

子群

在集合中有子集的概念。自然地，我们想把这个概念推广到群上。

::: note 子群 对于群 \(G\) 的一个子集 \(H\) ，若 \(H\) 对求逆和群运算均封闭，则称其为一个子群，有时记作 \(H<G\) 。

::: 例如，对于全体 \(n\) 的倍数构成的整数集合 \(n\mathbb{Z}\) 为整数加法群的子群。

对于矩阵，我们给出一类特别的子群：

::: note 特殊线性群 对于数域 \(K\) 上所有行列式为 \(1\) 的 \(n\) 阶方阵，容易证明它们构成一个群，称作特殊线性群 special linear group ，记作 \(SL_{n}(K)\)。他是 \(GL_{n}(K)\) 的子群。

:::

子群的判定

一个群的子集不是自然地构成群的子群的。因此，我们需要给出一个群的子群的一些判别方式。

::: important 子群的一个判别法 设 \(H\) 为 \(G\) 的一个非空子群，若：

\[ab^{-1} \in H,\quad \forall a, b\in H\]

则 \(H < G\)

Proof. 任取 \(c\in H\) 则 \(1 = cc^{-1} \in H\) ，从而有 \(a^{-1} = 1a^{-1} \in H\) ，从而对求逆封闭。

另一方面，对于任意 \(a, b\in H\) ，有 \(ab = a(b^{-1})^{-1}\in H\) ，从而对群运算封闭。

::: 容易证明，若干个子群的交集仍然是群的子群。

中心化子与群的中心

::: note 中心化子 设 \(g \in G\) ，则 \(C(g) = \{a\in G|ag=ga\}\) 称为 \(g\) 的中心化子 Centralizer 。设 \(S\subset G\) ，则 \(C(S) = \{a\in G | ag = ga, \forall g\in S \}\) 称为 \(S\) 在 \(G\) 中的中心化子。\(C(G)\) 称作群 \(G\) 的中心。有时中心也记作 \(Z(G)\) 。

::: 我们将会在后面认识到中心化子的作用。简而言之，一个群的中心就是能和群中任意一个元素交换的元素集合。

生成群

在研究数论的时候，有一个常见的手法是将整数做素因数分解，一个整数的素因数分解在一定程度上揭示了这个整数的一些性质。同样地，对于一个群，我们也总是想要将它的元素拆分为群中的某些元素的复合。在这个思想的指导下，可以给出生成子群的定义：

::: note 生成子群 设 \(S \subset G, S \ne \varnothing\) ，令 \(\langle S \rangle\) 为所有包含 \(S\) 的子群的交，那么 \(\langle S \rangle\) 为包含 \(S\) 的最小的子群，这个子群称作 \(S\) 生成的群 。如果 \(S\) 有限，则也可以记作 \(\langle a_{1}, \dots,a_{n}\rangle\) 。

::: 更进一步，一个群如果可以只从一个元素生成，则这个群被称作循环群。容易证明，循环群一定是 Abel 群。

置换群

置换群是一类特殊的群。

::: note 置换 设 \(n\) 为一个自然数，则称从 \(\{1,\dots ,n\}\) 到自身的一个双射为 \(n\) 个文字的一个置换。所有的置换在复合运算下构成一个群，这个群称作对称群 \(S_n\) ，它的所有子群称作置换群。

::: 对于一个置换，显然可以以列表的形式记录它，但是这比较繁琐，因此可以引进轮换的概念：

::: note 轮换表示法 设 \(i_{1} \dots i_{d}\) 为 \(d\) 个两两不同的文字，令 \(\sigma \in S_{n}\) 满足 \(\sigma(i_{k}) = i_{k+1}\) ，对其它元素保持不变，则称其为一个**\(d\)-轮换**。

::: 长度为 \(2\) 的轮换也称作对换。可以证明，任意一个置换可以拆分为若干个不相交轮换的乘积，从而容易证明，任意一个对换可以拆分成若干个允许相交的对换的乘积。

接下来不加证明地给出定理：

\[S_{n} = \langle (12), (13), \dots ,(1n) \rangle = \langle (12), (23), \dots ,(n-1 n) \rangle\]

::: 此外，可以根据逆序数定义一个置换的奇偶性。从而可以给出交错群的定义：所有偶置换构成的子群称为交错群，记作 \(A_n\) 。

一些关于置换群的问题的处理手法

对于 \(n\) 次对称群 \(S_n\) ，有一类很常见的问题是判断它是否有 \(k\) 阶的子群以及 \(k\) 阶的元素。对于这一类问题我们有一些相对比较通用的处理手法。

子群

对于子群类的问题，我们通常从 Lagrange 定理入手。对于一个群 \(k\) ，如果 \(k\) 不能整除 \(n!\) ，则显然不可能是 \(S_n\) 的子群。

元素

对于置换群，我们有一个特别的定理：任意一个置换可以拆分为若干个不相交轮换的乘积，而不相交的轮换意味着他们之间可以交换。从而我们可以有如下结论：

::: tip 对于一个置换 \(\sigma \in S_{n}\) ，有 \(\sigma = \tau_{1} \tau_{2} \dots \tau_{r}\) ，其中 \(\tau_{i}\) 为长度为 \(l_{i}\) 的轮换，则 \(o(\sigma) = \text{LCM}(l_{i})\) 。

::: 这个的证明是很容易的。从而这位我们判断一个对称群中是否有某个阶的元素创造了通用的手段：只需要对 \(k\) 做素因子分解，然后尝试构造一组最小公倍数为 \(k\) 的数满足他们的和小于等于 \(n\) 即可。

Cayley 定理

首先，对于对称群，我们可以给出一个更为推广的定义：一个集合 \(X\) 上的所有置换，即 \(\sigma : X \to X\) 且为双射，它们构成的群称作集合 \(X\) 的对称群，从而可以将对称群的概念推广到无穷的情况。于是给出定理：

::: tip Cayley 定理 任意一个群 \(G\) 总是同构于某一个对称群的子群。特别地，若 \(G\) 有限，且 \(|G| = n\) ，则 \(G\) 同构于某个 \(S_n\) 的子群。

::: 这个定理在群作用和稳定子群中给出

陪集

::: note 左陪集和右陪集 设 \(H<G\) ，\(a\in G\) ，记 \(aH = \{ah|h\in H\}\) 为 \(H\) 在 \(G\) 中的一个左陪集。同理可以定义右陪集。

::: 这个概念有点类似对一个线性空间的平移。陪集有一些重要的性质：

  1. 设 \(a, b\in G\) 则映射 \(f:aH\rightarrow bH, g\mapsto ba^{-1}g\) 为 \(aH\) 到 \(bH\) 的一个双射
  2. \(aH = bH \Leftrightarrow a^{-1}b\in H\)
  3. 若 \(aH \cap bH \ne \varnothing\) ，则 \(aH = bH\)

根据这些定理，我们可以给出陪集最为重要的一个性质：对于一个群 \(G\) 及其一个子群 \(H\) ，那么 \(H\) 的所有左陪集的并就是全集 \(G\) ，或者说这可以给出 \(G\) 的一种剖分，从而可以给出指数的定义：

::: note 子群的指数 对于一个子群 \(H\) ，若它将 \(G\) 剖分为 \(r\) 个左陪集的并，则称 \((G:H) := r\) 为 \(H\) 在 \(G\) 中的指数。这个数可以是自然数，也可以是 \(\infty\) 。

::: 从而有如下重要定理：

::: tip Lagrange 定理 对于一个有限群 \(G\) 和它的子群 \(H\) ，总有：\(|G| = |H| (G:H)\) 。

::: 从而有：对于一个非 Abel 群，它的左右陪集的剖分一般是不同的，但是指数是相同的。

陪集是一种特殊的等价类，它允许我们将一个群的元素看成是在子群 \(H\) 中的分量与不在子群 \(H\) 的分量的分解。

拉格朗日定理可以给出一个重要的推论：有限群 \(G\) 中的元素 \(g\) 的阶一定整除群的阶，这是因为 \(g\) 的阶就是 \(\left< g \right>\) 的阶数，而显然 \(\left< g \right>\) 是 \(G\) 的子群。

数论应用：将 Lagrange 定理用于乘法群 \((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\)，即得 Euler 定理 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}\)；取 \(m = p\) 即得费马小定理。

正规子群与商群

在线性空间的内容中有一个重要的内容是商空间，同样地，我们可以尝试着将它推广到群论中。然而，对于一个一般的子群 \(H\) ，\(aH\) 构成的集合上并不总是能定义自然的乘法 \(aH \times bH \mapsto (ab)H\) 。我们考虑：\((ab)H\) 在何时与代表元的选取无关。从而可以推得正规子群的概念：

::: note 正规子群 对于 \(G\) 的子群 \(H\) ，若满足：

\[\forall g\in G, h \in H, g^{-1}hg \in H\]

则 \(H\) 称作 \(H\) 的正规子群，记作 \(H \triangleleft G\)

::: 对于正规子群有一些重要的性质：

  1. 共轭子群在共轭变换下保持不变，即 \(\forall a\in G, a^{-1}Ha = H\) 。这里的 \(a^{-1}Ha\) 也被称作共轭子群
  2. Abel 群的所有子群都是正规子群
  3. \(H \triangleleft G, H\subset K \leq G \Rightarrow H\triangleleft K\)
  4. 正规子群的关系不具有传递性

在此基础上，我们可以定义一个重要的概念正规化子：

::: note 正规化子 Normalizer 设 \(H\) 是 \(G\) 的一个子群，令：

\[N_{G}(H) = \{g\in G | g^{-1}Hg=H\}\]

则显然 \(N_G(H)\) 是 \(G\) 的一个包含 \(H\) 的子群，且 \(H\) 是它的正规子群。

::: 正规化子有一个重要的性质：对于任意一个 \(G\) 的子群 \(K\) ，若 \(H\) 是 \(K\) 的正规子群，则一定有 \(K \subset N_{G}(H)\) 。

此外，我们可以给出一个简单的定理：对于群 \(G\) 的一个子集 \(S\) ，若它的所有元素的共轭都是 \(S\) 中的元素，则 \(\langle S \rangle \triangleleft G\) 。从而可以给出换位子群的概念：

::: note 换位子群 Commutator Subgroup 令 \(S = \{a^{-1}b^{-1}ab|a, b \in G\}\) ，则它满足前述定理的条件，从而 \([G, G] := \langle S \rangle \triangleleft G\) 为 \(G\) 的换位子群。

:::

正规化子的功能

以下内容来自 Gemini-2.5-flash

正规化子（Normalizer），通常记作 \(N_G(H)\)，是群论中另一个非常重要的概念，它描述了一个子群 \(H\) 如何“嵌入”在更大的群 \(G\) 中，以及有多少元素“尊重”这个子群的结构。

为什么这个概念被发明？它的意义是什么？

这个概念的产生和其重要性主要体现在以下几个方面：

  1. 衡量子群的“正规性”：

    • 一个子群 \(H\) 在群 \(G\) 中被称为正规子群（Normal Subgroup），如果对于所有 \(g \in G\)，都有 \(gHg^{-1} = H\)。
    • 正规化子的定义与正规子群的定义直接相关。事实上，\(H\) 是 \(G\) 的正规子群当且仅当 \(N_G(H) = G\)。
    • 因此，正规化子 \(N_G(H)\) 实际上告诉我们 \(G\) 中有多少元素“正常化”了 \(H\)。如果 \(N_G(H)\) 越大，那么 \(H\) 在 \(G\) 中就越接近正规。

  2. 它是包含 \(H\) 的最大的子群，使得 \(H\) 在其中是正规的：

    • 一个非常关键的性质是，\(N_G(H)\) 本身是 \(G\) 的一个子群，并且 \(H\) 总是 \(N_G(H)\) 的一个正规子群（\(H \triangleleft N_G(H)\)）。
    • 更重要的是，\(N_G(H)\) 是包含 \(H\) 的 \(G\) 的所有子群中，最大的一个使得 \(H\) 在其中是正规子群。这意味着，如果你想找到一个包含 \(H\) 且 \(H\) 在其中正规的“局部”群，那么 \(N_G(H)\) 就是你能找到的最大的那个。

  3. 计算共轭子群的数量：

    • 在群论中，我们经常对子群的共轭类感兴趣。如果 \(H_1 = gH_2g^{-1}\) 对于某个 \(g \in G\) 成立，那么 \(H_1\) 和 \(H_2\) 被称为共轭的。
    • 正规化子在计算一个子群 \(H\) 有多少个不同的共轭子群时起着核心作用。根据轨道-稳定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem，参见群作用和稳定子群），子群 \(H\) 的不同共轭子群的数量等于群 \(G\) 在 \(N_G(H)\) 上的指数： \(| \{gHg^{-1} \mid g \in G\} | = [G : N_G(H)] = \frac{|G|}{|N_G(H)|}\)
    • 这个功能在研究有限群的结构时极其重要，尤其是在Sylow 定理中。Sylow 定理使用正规化子来计算 Sylow \(p\)-子群的数量，这是理解有限群结构的关键一步。可以参见Sylow 子群。

  4. 作为群作用的稳定子：

    • 正规化子可以看作是群 \(G\) 作用在自身子群集合上的稳定子。
    • 考虑群 \(G\) 通过共轭作用在 \(G\) 的所有子群的集合 \(\mathcal{P}(G)\) 上：\(g \cdot K = gKg^{-1}\)。
    • 那么，子群 \(H\) 的正规化子 \(N_G(H)\) 正是 \(H\) 在这个作用下的稳定子（Stabilizer）。即，\(N_G(H) = \{g \in G \mid g \cdot H = H\}\)。

  5. 与中心化子的关系：

    • 正规化子与中心化子（Centralizer）\(C_G(H)\) 密切相关。中心化子定义为 \(G\) 中所有与 \(H\) 中的每个元素都可交换的元素 \(g\) 的集合：\(C_G(H) = \{g \in G \mid gh = hg \text{ for all } h \in H\}\)。
    • 显然，如果 \(g\) 与 \(H\) 中的每个元素都可交换，那么 \(gHg^{-1}\) 中的每个元素 \(ghg^{-1}\) 都等于 \(h\)，所以 \(gHg^{-1} = H\)。因此，\(C_G(H)\) 总是 \(N_G(H)\) 的一个子群（\(C_G(H) \le N_G(H)\)）。
    • 正规化子是“集合层面”的保持不变，而中心化子是“元素层面”的保持不变。

总结

正规化子是一个理解子群如何“坐落”在整个群中的有力工具。它回答了以下问题：

  • 一个子群 \(H\) 在 \(G\) 中有多“正规”？
  • 哪些元素将 \(H\) 映射回自身（通过共轭）？
  • \(H\) 有多少个不同的共轭子群？

通过这些功能，正规化子在分类有限群、研究群的结构以及在Sylow定理等高级群论概念中扮演着不可或缺的角色。

换位子群的功能和意义

换位子群（Commutator Subgroup），通常记作 \(G'\) 或 \([G,G]\)，是一个群论中非常重要的概念，它揭示了一个群的“非交换性”程度。

为什么这个概念被发明？

这个概念被发明主要是为了解决以下问题和需求：

  1. 量化群的“非交换性”： 一个群 \(G\) 是阿贝尔群（交换群）当且仅当对于任意两个元素 \(a, b \in G\)，都有 \(ab = ba\)，即 \(aba^{-1}b^{-1} = e\)（单位元）。 当群不是阿贝尔群时，有些元素不满足交换律，即 \(aba^{-1}b^{-1} \neq e\)。这些形如 \(aba^{-1}b^{-1}\) 的元素被称为换位子（commutator）。 换位子群就是由所有这些换位子生成的子群。它的存在是为了“捕捉”和“量化”群偏离交换性的程度。如果换位子群只包含单位元 \(\{e\}\)，那么这个群就是阿贝尔群；如果换位子群越大，那么群的非交换性就越强。

  2. 寻找群的“最大的阿贝尔商群”： 在研究群的结构时，我们常常希望通过将一个群“简化”为更易于理解的阿贝尔群来获得洞察。换位子群提供了一种标准的方式来实现这一点。

换位子群有什么功能？

换位子群在群论中有以下几个核心功能和作用：

  1. 衡量群的非交换性：

    • 如上所述，一个群 \(G\) 是阿贝尔群当且仅当其换位子群 \(G'\) 等于单位元子群 \(\{e\}\)。
    • 换位子群的大小反映了群偏离交换律的程度。

  2. 构造群的“阿贝尔化”（Abelianization）：

    • 定义： 对于任何群 \(G\)，其换位子群 \(G'\) 总是 \(G\) 的一个正规子群。因此，我们可以形成商群 \(G/G'\)。
    • 性质： 这个商群 \(G/G'\) 总是阿贝尔群。
    • 意义： \(G/G'\) 被称为 \(G\) 的阿贝尔化。它是 \(G\) 的“最大的阿贝尔商群”，在某种意义上，它“滤掉了” \(G\) 中所有的非交换信息，只保留了交换部分。
    • 泛性质： 换位子群 \(G'\) 是所有包含在 \(G\) 的阿贝尔商群的核（kernel）的最小正规子群。这意味着对于任何从 \(G\) 到一个阿贝尔群 \(A\) 的群同态 \(f: G \to A\)，其核 \(\ker(f)\) 必定包含 \(G'\)。因此，该同态可以通过 \(G/G'\) 唯一分解。

  3. 定义可解群（Solvable Groups）：

    • 换位子群是定义可解群的关键。一个群 \(G\) 被称为可解群，如果它的**导出列（derived series）**最终达到单位元子群。导出列定义如下：
      • \(G^{(0)} = G\)
      • \(G^{(1)} = G' = [G,G]\)
      • \(G^{(2)} = (G')' = [G',G']\)
      • …
      • \(G^{(n+1)} = (G^{(n)})' = [G^{(n)},G^{(n)}]\)
    • 如果存在某个整数 \(n\) 使得 \(G^{(n)} = \{e\}\)，那么 \(G\) 就是一个可解群。可解群在伽罗瓦理论中扮演着核心角色，例如，一个多项式能够通过根式求解当且仅当其伽罗瓦群是可解群。
    • 可解群

  4. 作为正规子群：

    • 换位子群 \(G'\) 总是群 \(G\) 的一个正规子群（\(G' \triangleleft G\)）。这是它能形成商群 \(G/G'\) 的前提。

  5. 在同调代数和拓扑学中的应用：

    • 在拓扑学中，基本群（fundamental group）的阿贝尔化与路径连通空间的第一个同调群（first homology group）同构。这表明换位子群的概念与空间的“孔洞”结构之间存在深层联系。

综上所述，换位子群是一个基础且功能强大的概念，它不仅帮助我们理解群的内部结构，尤其是其交换性，而且是构建更复杂理论（如可解群理论和伽罗瓦理论）的基石。

单群

最后给出一类特别的群的定义。

::: note 单群 一个至少含有两个元素且不包含非平凡正规子群的群称作单群

::: 从而可以给出重要的有限单群分类定理。

关于单群，有一个重要的定理，有时候被称作第四同构定理或是对应定理：

::: important 对应定理/第四同构定理 一个群 \(H\) 是 \(G\) 的极大正规子群，当且仅当 \(G/H\) 是一个单群

Proof. TODO

正规子群的一些操作

一、 保持正规性的操作

假设 \(G\) 是一个群，\(N\) 和 \(K\) 是 \(G\) 的正规子群（记作 \(N \unlhd G, K \unlhd G\)）。

1. 交集 (Intersection)

结论： 任意个正规子群的交集仍然是正规子群。

  • 形式化： 若 \(N \unlhd G\) 且 \(K \unlhd G\)，则 \(N \cap K \unlhd G\)。
  • 证明思路： 对于任意 \(g \in G\) 和 \(x \in N \cap K\)，我们需要证明 \(gxg^{-1} \in N \cap K\)。
    • 因为 \(x \in N\) 且 \(N \unlhd G\)，所以 \(gxg^{-1} \in N\)。
    • 因为 \(x \in K\) 且 \(K \unlhd G\)，所以 \(gxg^{-1} \in K\)。
    • 所以 \(gxg^{-1}\) 既在 \(N\) 也在 \(K\) 中。

2. 乘积 (Product)

结论： 两个正规子群的乘积仍然是正规子群。

  • 形式化： 若 \(N \unlhd G\) 且 \(K \unlhd G\)，则 \(NK = \{nk \mid n \in N, k \in K\}\) 是 \(G\) 的正规子群。
  • 注意： 即使只有一个因子是正规的（例如 \(N \unlhd G\)，\(K \le G\)），\(NK\) 也是一个子群，但不一定是正规子群。只有当两者都正规时，\(NK\) 必正规。
  • 证明思路： 首先 \(NK\) 是子群（因为 \(N, K\) 正规，所以 \(NK=KN\)）。接着对于任意 \(g \in G\)，\(g(NK)g^{-1} = gNg^{-1} gKg^{-1} = NK\)。

3. 逆象 (Inverse Image)

结论： 在群同态下，正规子群的逆象是正规子群。

  • 形式化： 设 \(\phi: G \to H\) 是群同态。若 \(M \unlhd H\)，则 \(\phi^{-1}(M) \unlhd G\)。
  • 特例： 核（Kernel）\(\ker(\phi) = \phi^{-1}(\{e_H\})\) 总是 \(G\) 的正规子群。

4. 像 (Image) - 仅限满同态

结论： 在满同态下，正规子群的像仍然是正规子群。

  • 形式化： 设 \(\phi: G \to H\) 是满同态。若 \(N \unlhd G\)，则 \(\phi(N) \unlhd H\)。
  • 注意： 如果不是满同态，\(\phi(N)\) 只是 \(\phi(G)\) 的正规子群，而不是 \(H\) 的正规子群。

5. 直接积 (Direct Product)

结论： 如果 \(N \unlhd G\) 且 \(M \unlhd H\)，则 \(N \times M\) 是 \(G \times H\) 的正规子群。

6. 换位子群 (Commutator Subgroup)

结论： 如果 \(N, K \unlhd G\)，则它们的换位子群 \([N, K]\) 也是 \(G\) 的正规子群。

  • 特别地： 导群（Derived subgroup）\(G' = [G, G]\) 总是 \(G\) 的正规子群（甚至是特征子群）。

二、 容易混淆或不保持正规性的操作

1. 正规性的传递性 (Transitivity) —— 通常不成立

结论： 正规子群的正规子群不一定是正规子群。

  • 形式化： 若 \(K \unlhd N\) 且 \(N \unlhd G\)，推不出 \(K \unlhd G\)。
  • 经典反例： 考虑交错群 \(A_4\)（4个元素的偶置换群）。
    • \(V_4 = \{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}\) 是 \(A_4\) 的正规子群（克莱因四元群）。
    • \(K = \{e, (12)(34)\}\) 是 \(V_4\) 的正规子群（因为 \(V_4\) 是阿贝尔群，所有子群都正规）。
    • 但在 \(A_4\) 中，取 \(g=(123)\)，计算 \(g(12)(34)g^{-1}\)，结果并不是 \((12)(34)\)，而是 \((14)(23)\)，这不在 \(K\) 中。
    • 所以 \(K\) 不是 \(A_4\) 的正规子群。

2. 与非正规子群的交集 —— 通常不成立

结论： 一个正规子群与一个普通子群的交集，虽然是该普通子群的正规子群，但通常不是整个大群的正规子群。

  • 形式化： 若 \(N \unlhd G, H \le G\)，则 \(N \cap H \unlhd H\)，但 \(N \cap H\) 未必 \(\unlhd G\)。

3. 像 (Image) - 非满同态

结论： 也就是前面提到的，如果同态 \(\phi: G \to H\) 不是满的，那么 \(N \unlhd G\) 的像 \(\phi(N)\) 只是 \(\text{Im}(\phi)\) 的正规子群，通常不是 \(H\) 的正规子群。

三、 进阶概念：特征子群 (Characteristic Subgroups)

为了解决“正规性的正规性不传递”这个问题，数学家引入了特征子群的概念。

  • 定义： 如果子群 \(C \le G\) 在 \(G\) 的所有自同构下都不变（即 \(\forall \sigma \in \text{Aut}(G), \sigma(C) = C\)），则称 \(C\) 为 \(G\) 的特征子群，记作 \(C \text{ char } G\)。
  • 强度： 特征子群比正规子群更强（正规子群只是在内自同构下不变）。
  • 补救传递性：
    • 若 \(K \text{ char } N\) 且 \(N \unlhd G\)，则 \(K \unlhd G\)。
    • 若 \(K \text{ char } N\) 且 \(N \text{ char } G\)，则 \(K \text{ char } G\)（特征性具有传递性）。

总结表

操作对象操作结果是否必为 \(G\) 的正规子群？
\(N \unlhd G, K \unlhd G\)交集 \(N \cap K\)是
\(N \unlhd G, K \unlhd G\)乘积 \(NK\)是
\(N \unlhd G, K \unlhd G\)换位子群 \([N, K]\)是
\(M \unlhd H\), \(\phi: G \to H\)逆象 \(\phi^{-1}(M)\)是
\(N \unlhd G\), \(\phi: G \to H\)像 \(\phi(N)\)否 (除非 \(\phi\) 是满同态)
\(K \unlhd N, N \unlhd G\)传递性 (sub of sub)否 (需要特征子群条件)

交错群

TODO

同态和同构

在线性空间的研究中，我们给出了几个重要的同构定理。在群论中同样有类似的定理。

首先我们定义同态：

::: note 同态 对于一个映射 \(f: G_{1} \rightarrow G_{2}\) ，若 \(f(a)f(b) = f(ab)\) 总是成立，则称 \(f\) 为一个同态。

::: 对于同态 \(f\) ，可以证明 \(\mathrm{Ker} f \triangleleft G_{1}, \mathrm{Im} f < G_{2}\) 。从而可以定义单同态和满同态。如果这个映射是个双射，则此时称其为一个同构。同构的两个群总是有一模一样的性质。

对于一个群 \(G\) 的自同构，他们在复合运算下构成一个群 \(\mathrm{Aut}(G)\) 。进一步，定义内自同构：\(i_{g}: G\to G, a \mapsto g^{-1}ag\) ，则他们构成 \(\mathrm{Aut}(G)\) 的正规子群 \(\mathrm{Inn}(G)\) 。

从而，可以给出几个重要的定理：

::: tip 同态基本定理 设 \(f: G\to H\) 为一个同态，则有：

  1. \(\mathrm{Ker}(f) \triangleleft G\)
  2. \(G/\mathrm{Ker}(f) \cong \mathrm{Im}(f)\)

Proof. TODO

第一同构定理. 设 \(H \triangleleft G, N \triangleleft G\) 且 \(H \subset N\) ，则有：

\[(G / H) / (N / H) \cong G / N\]

第二同构定理. 设 \(H\triangleleft G\) ，\(K\) 为 \(G\) 的一个子群，令 \(KH = \{kh|k\in K, h\in H\}\) ，则 \(KH\) 为 \(G\) 的子群且：

\[KH / H \cong K / (K \cap H)\]

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群的直积

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