函数列的一些性质
函数列的一致收敛及其对极限性质的保持。
等度连续与一致有界
对于区间 \(I=[a,b]\) 上的一列连续函数序列 \(f_{1}(x), f_{2}(x), \dots, f_{n}(x)\) ，对于任意 \(\varepsilon>0\) 总存在 \(\delta(\varepsilon)>0\) 使得对于任意 \(|x_{1}-x_{2}|<\delta\) 时，对于任意的 \(n\) 都有 \(|f_{n}(x_{1}) - f_{n}(x_{2})| < \varepsilon\) ，则称它们在 \(I\) 上是等度连续的。如果存在 \(K\) 在 \(I\) 上有 \(|f_{n}(x)| \leq K\) 且 \(K\) 与 \(x\) 和 \(n\) 无关，则称函数列在 \(I\) 上一致有界。
连续度数
接着给出一个关于一致收敛的引理：
::: important 引理 若 \(A \subset I\) 为有限闭区间 \(I\) 中的稠密点集，且函数列等度连续，且对于 \(A\) 中的每一个点函数列均收敛，则函数列一致收敛且极限函数在 \(I\) 中连续
Proof. TODO
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Ascoli-Arzela 定理
这个定理是对 Bolzano-Weierstrass 定理的推广。