有限 Abel 群上的 Fourier 分析
有限 Abel 群上的特征标与 Fourier 分析，及其在数论中的应用。
有限 Abel 群与特征群
基本设定
设 \(A\) 是有限 Abel 群。两个最重要的例子：
- \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\)：模 \(m\) 剩余类的加法群
- \((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\)：模 \(m\) 的缩剩余系在乘法下的群
特征
\(A\) 上的一个特征是群同态
\(\chi: A \to S^1 = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}, \quad \chi(ab) = \chi(a)\chi(b)\)
所有特征构成群 \(\hat{A} = \mathrm{Hom}(A, S^1)\)，运算为逐点乘法，称为 \(A\) 的特征群（dual group）。
关键事实
- \(|\hat{A}| = |A|\)，即特征群与原群同阶。\(\hat{\hat{A}} \cong A\)（Pontryagin 对偶）。群的结构由 有限 Abel 群结构定理 完全决定。
- 若 \(A = \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\)（加法群），\(\hat{A}\) 同构于所有 \(m\) 次单位根构成的群。\(\chi\) 由 \(\chi(1)\) 完全确定。
- 若 \(A = (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\)，由 CRT 和 \(m\) 的素因子分解，\(A\) 分解为素数幂缩系的直积，\(\hat{A}\) 相应分解。
特征的正交性
\(\sum_{a \in A} \chi(a)\overline{\psi(a)} = \begin{cases} |A| & \chi = \psi \\ 0 & \chi \neq \psi \end{cases}\)
特别地，\(\sum_{a \in A} \chi(a) = |A| \cdot \delta_{\chi, \chi_0}\)。
Fourier 变换
定义
设 \(f: A \to \mathbb{C}\)。\(f\) 的 Fourier 变换 \(\hat{f}: \hat{A} \to \mathbb{C}\) 定义为
\(\hat{f}(\chi) = \frac{1}{\sqrt{|A|}} \sum_{a \in A} f(a)\overline{\chi(a)}\)
Fourier 逆变换：对 \(g: \hat{A} \to \mathbb{C}\)，
\(\check{g}(a) = \frac{1}{\sqrt{|A|}} \sum_{\chi \in \hat{A}} g(\chi)\chi(a)\)
例 1：常数函数
\(f \equiv 1\) 的 Fourier 变换为 \(\hat{f} = \sqrt{|A|} \cdot \delta_{\chi_0}\)。
例 2：Dirac 函数
\(\delta_{a_0}(a) = \sqrt{|A|} \cdot \mathbf{1}_{a = a_0}\) 的 Fourier 变换为 \(\widehat{\delta_{a_0}}(\chi) = \overline{\chi(a_0)}\)。
Fourier 反演公式
定理：\(f(a) = \frac{1}{\sqrt{|A|}} \sum_{\chi \in \hat{A}} \hat{f}(\chi)\chi(a) = (\hat{f})^\vee(a)\)
即先做 Fourier 变换，再做 Fourier 逆变换，回到原函数。
证明：按定义展开，利用特征的正交性。
Plancherel 公式（Parseval 等式）
定理：\(\|\hat{f}\|_2 = \|f\|_2\)，即 \(\sum_{\chi \in \hat{A}} |\hat{f}(\chi)|^2 = \sum_{a \in A} |f(a)|^2\)
更一般地，\(\langle \hat{f_1}, \hat{f_2} \rangle = \langle f_1, f_2 \rangle\)。
卷积
定义
设 \(f_1, f_2: A \to \mathbb{C}\)。卷积定义为
\((f_1 * f_2)(a) = \frac{1}{\sqrt{|A|}} \sum_{b \in A} f_1(b) f_2(ab^{-1})\)
与实数上的卷积类比：求和代替积分，\(ab^{-1}\) 代替 \(x-y\)。
四条基本性质
- 结合律：\((f_1 * f_2) * f_3 = f_1 * (f_2 * f_3)\)
- 交换律：\(f_1 * f_2 = f_2 * f_1\)（成立的根本原因是 \(A\) 是交换群）
- 分配律：\((f_1 + f_2) * f_3 = f_1 * f_3 + f_2 * f_3\)
- 核心性质——Fourier 变换将卷积变为逐点乘积：
\(\widehat{f_1 * f_2}(\chi) = \hat{f_1}(\chi) \cdot \hat{f_2}(\chi)\)
性质 4 的证明：展开 Fourier 变换定义，利用 \(\overline{\chi(ab^{-1})} = \overline{\chi(a)} \cdot \chi(b)\)，交换求和次序。
从 Fourier 变换的角度看，卷积并不”奇怪”——它正是逐点乘法在对偶空间中的像。
卷积环
\(A\) 上的函数空间在逐点加法和卷积下构成一个环（不同于逐点加法和逐点乘法构成的标准函数环）。
平移算子
定义
给定 \(a_0 \in A\)，平移算子 \(T_{a_0}\) 定义为
\((T_{a_0} f)(b) = f(a_0^{-1}b)\)
平移与卷积
\(T_{a_0} f = f * \delta_{a_0}\)
平移的 Fourier 变换
\(\widehat{T_{a_0} f}(\chi) = \hat{f}(\chi) \cdot \overline{\chi(a_0)}\)
Gauss 和的重新理解
Dirichlet 特征延拓到加法群
取 \(A = \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\)（加法群）。设 \(\kappa\) 是模 \(m\) 的 Dirichlet 特征（\((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\) 上的乘法特征），延拓为加法群上的函数
\(\tilde{\kappa}(a) = \begin{cases} \kappa(a) & (a,m)=1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\)
Gauss 和作为 Fourier 变换
\(\hat{\tilde{\kappa}}(\chi_k) = \frac{1}{\sqrt{m}} \cdot g_k(\kappa)\)
其中 \(g_k(\kappa) = \sum_{(a,m)=1} \kappa(a)\overline{\zeta_m^{ak}}\) 是 Gauss 和。
Gauss 和就是延拓后的 Dirichlet 特征的 Fourier 变换（乘以 \(\sqrt{m}\)）。
Gauss 和的模长
利用 Plancherel 公式：
\(\|\tilde{\kappa}\|_2^2 = \sum_{(a,m)=1} |\kappa(a)|^2 = \varphi(m)\)
由 \(\|\hat{\tilde{\kappa}}\|_2^2 = \|\tilde{\kappa}\|_2^2\)，得 \(\sum_k |g_k(\kappa)|^2 = m \cdot \varphi(m)\)。
对本原特征 \(\kappa\)，当 \((k,m)=1\) 时 \(|g_k(\kappa)| = \sqrt{m}\)，当 \((k,m) \neq 1\) 时 \(g_k(\kappa) = 0\)。因此 \(|\tau(\kappa)| = |g_1(\kappa)| = \sqrt{m}\) 成为 Plancherel 公式的直接推论。
关于 Gauss 和的更多讨论，参见 Jacobi和与Gauss和与二次剩余。
应用：\(x^N = a\) 在 \(\mathbb{F}_p^\times\) 中的解
问题
设 \(p\) 为素数，\(N\) 为正整数，\(a \in \mathbb{F}_p^\times\)。定义
\(f(a) = \#\{x \in \mathbb{F}_p^\times : x^N = a\}\)
Fourier 分析方法
对乘法群 \(A = \mathbb{F}_p^\times\) 上的函数 \(f\)，计算 Fourier 变换：
\(\hat{f}(\psi) = \frac{1}{\sqrt{p-1}} \sum_{x \in \mathbb{F}_p^\times} \overline{\psi(x^N)} = \frac{1}{\sqrt{p-1}} \sum_{x} \overline{\psi^N(x)}\)
由正交关系：
\(\hat{f}(\psi) = \frac{1}{\sqrt{p-1}} \cdot \begin{cases} p-1 & \psi^N = \psi_0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\)
结果
由 Fourier 反演：
\(\boxed{f(a) = \sum_{\substack{\psi \in \widehat{\mathbb{F}_p^\times} \\ \psi^N = \psi_0}} \psi(a)}\)
即解的个数等于所有满足 \(\psi^N = \psi_0\) 的乘法特征在 \(a\) 处取值之和。
特例：\(N = 2\)（Legendre 符号）
满足 \(\psi^2 = \psi_0\) 的特征有两个：\(\psi_0\) 和 Legendre 符号 \((\cdot/p)\)。因此
\(f(a) = 1 + \left(\frac{a}{p}\right)\)
\(a\) 是二次剩余时有 2 个解，非剩余时无解。经典结果作为特例自然出现。
Fourier 变换的谱分析
固定同构 \(A \xrightarrow{\sim} \hat{A}\) 后，Fourier 变换成为 \(A\) 上函数空间到自身的线性映射。
- 两次 Fourier 变换给出反射：\(\widehat{\hat{f}}(a) = f(a^{-1})\)
- 四次 Fourier 变换回到自身：\(\mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}\)
因此 Fourier 变换的特征值只能是 \(\{\pm 1, \pm i\}\)。